在日内瓦欧洲大型强子对撞机（LHC）中，物理学家让质子在周长27千米的轨道上以接近光的速度相互撞击。这是世界上最精密的科学实验之一，但是当试图理解量子碎片时，物理学家会使用一个非常简单的工具，名为“费曼图”，它看起来就像小孩子的涂鸦。
费曼图是由理查德·费曼在20世纪40年代发明的。在费曼图中，各种各样的线代表基本粒子，它们在顶点（表示碰撞）处会聚，然后从那里发散而出，表示碰撞中出现的碎片。这些线要么散开或者再次会聚。只要物理学家愿意，他们可以向费曼图中添加无数的线条。
有了图像，然后物理学可以添加数字，比如粒子的质量、动量和方向。然后他们开始进行费力的计数过程——积分、加上这个、将那个平方等等。最终的结果是一个数字，称为“费曼概率”（Feynman probability），代表费曼图中粒子碰撞过程中的概率。
加州理工学院的理论物理学家兼数学家Sergei Gukov说，“在某种意义上，费曼发明的这个图把复杂的数学变得像记账一样简单”。
费曼图已经成为物理学家的重要工具，但它也有局限。一个局限是精度问题。物理学家正在不断提高粒子碰撞的能量，这需要更高的测量精度——随着精度的提高，需要计算的费曼图也越来越复杂。
第二个局限则关于更加基本的物理问题。费曼图基于一个假设：费曼图中涉及的碰撞和子碰撞越多，其预测就越准确。这种计算方法称为“微扰展开”。用它计算电子碰撞非常有效，在这个过程中弱力和电磁力占主导地位。但它对于高能量碰撞不太有效，例如质子之间的碰撞，其中强核力量占优势。在这种情况下，物理学家需要画出更复杂的费曼图，这可能导致物理学家误入歧途。
牛津大学数学家Francis Brown说：“我们已经知道，在某个地方计算开始偏离真实的物理。但是我们不知道在哪个地方停止计算费曼图。”
然而，我们有理由保持乐观。在过去的10年里，物理学家和数学家一直在探索一种令人惊讶的对应关系，或许会让费曼图获得新的活力，并给数学和物理带来深远的启发。从费曼图中计算出的数值似乎与某种重要的数字有关，这些数字来自称为“代数几何”的数学分支。这些数值称为“动机周期”（periods of motives），而且人们不知道为什么相同的数字出现在费曼图和代数几何中。这个非常奇怪，就像你每次用量杯量一杯米，你观察到米粒的数量竟然都是素数。
柏林洪堡大学的物理学家Dirk Kreimer说：“从大自然到“代数几何”以及周期存在一种联系，现在看来，这并不是巧合。”
数学家和物理学家正在合作，试图解开其中的秘密。对于数学家来说，物理学让他们对一类特殊的数产生兴趣，他们想要理解：对于周期，物理学中是否存在隐藏的结构？这类数有什么特殊性质？而对于物理学家来说，理解其中的数学就能更好地对混乱的量子世界做出更好的预言。
不断再现的主题
如今，周期已经成为数学中最抽象的主题之一，但它们一开始是由于一个更加具体的问题引起人们关注的。17世纪初，像伽利略一样的科学家对于计算钟摆周期兴趣浓厚。他们意识到，计算最终要归结为对一个函数的积分，这个函数包含钟摆长度以及释放时的角度。大约在同一时期，开普勒使用类似的方法计算行星绕太阳运行所需的时间。他们将这种度量称为“周期”，并将其发展为运动的最重要度量之一。
在18、19世纪时，数学家开始研究更加普遍的周期，不仅仅是钟摆或行星的周期，而是将其看作一类数，通过对x2 + 2x - 6和3x3 - 4x2- 2x + 6之类的多项式进行积分得到的数字。在后来的一个多世纪中，像高斯和欧拉这样的杰出人物探索了周期的世界，发现它包含许多指向某些基本秩序的特征。某种意义上，在20世纪发展起来的代数几何（研究多项式函数的几何形式的数学分支）就是一种追寻隐藏结构的方法。
在20世纪60年代这个领域迅速发展，数学家将具体的数学对象（如函数）转换成更加抽象的形式，希望从中发现隐藏的关系。
这个过程中，首先分析由多项式函数的解定义的几何对象（称为“代数变量”），而不是分析函数本身。接下来，数学家试图理解这些几何对象的基本性质。为了实现这个目的，他们发展了所谓的“同调论”（cohomology theories），这种方法可以识别出几何对象的结构，无论生成这些几何对象的具体多项式方程是什么。
到20世纪60年代，同调论已经变得让人眼花缭乱，出现了奇异上同调（singular cohomology），德拉姆上同调（de Rhamcohomology），平展上同调（étale cohomology）等等。对于什么才是代数变量中最重要的特征，似乎不同的人有不同的看法。
在一片混乱中，数学先驱亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，2014年去世）意识到，所有的同调理论都只不过是同一事物的不同版本。
“格罗滕迪克发现，对于代数变量，无论你如何计算不同的同调论，你总是以某种方式找到同样的结果”，Brown说。
同样的结果就是所有这些同调论的中心，格罗滕迪克将这种独特的东西称为“动机”（motive）。“在音乐中，这意味着一个反复出现的主题。对于格罗滕迪克，动机是某种不同形式、反复出现的东西，但它是一样的”，格罗滕迪克曾经的同事、巴黎高等科学研究所的数学家Pierre Cartier说。
在某种意义上，动机是多项式方程的基元，就像是很大的数字可以分解成素数的乘积，素数就是大数的基元。动机也有与之关联的数据。正如你可以将物质分解成元素并描述每个元素的特征（如原子数、原子量等等）——数学家用基本的度量描述动机。这些度量中最重要的就是动机的周期。如果在一个多项式方程系统中得到的动机的周期与在不同系统中得到的动机的周期相同，那么动机就是相同的。
牛津数学家Minhyong Kim说：“一旦知道了周期，它们是具体的数字，就几乎等同于知道了动机本身。”
观察同样的周期如何在意想不到情况下出现，一个直接的例子就是观察π。Cartier说，“这是得到周期的最有名的例子。”π在各种各样的几何中出现：定义一维圆的函数的积分，定义二维圆的函数的积分，以及定义球的函数的积分。明显不同的积分中出现同一个数字，过去的思想家也一定感到非常神秘。这个相同的价值将重复出现在看似不同寻常的整合可能是古代思想家的神秘。Brown在一封电子邮件中写道：“现代的解释是，球体和实心圆具有相同的动机，因此它们必须具有相同的周期。
复杂的费曼图
如果说好奇的心灵很久以前就想知道为什么在圆和球的计算中会出现类似π的数，那么今天的数学家和物理学家想知道为什么这些数会出自另一种几何对象——费曼图。
费曼图有一个基本的几何特征，即费曼图由线段射线和顶点组成。为了理解如何构造费曼图，以及为什么费曼图在物理学中非常有用，我们可以想象一个简单的实验装置，其中电子和正电子碰撞产生μ子和反μ子。为了计算发生这种结果的概率，物理学家需要知道每个入射粒子的质量和动量以及跟粒子路径有关的量。在量子力学中，粒子的路径可以看成是其所有可能路径的平均值。计算该路径需要进行积分，这称为“费曼路径积分”。
在粒子碰撞过程中，粒子从开始到结束每个可能的路径都可以用费曼图表示，并且每个费曼图都具有对应的积分（费曼图和它对应的积分是一样的）。为了计算特定的起始条件所产生的特定结果的概率，你需要考虑所有可能的费曼图，对每一项进行，并将这些积分求和。得到的数字就是费曼图的振幅。计算这个数的平方得到的就是概率。
对于电子和正电子碰撞产生μ子和反μ子，这个方法简单易行。但这只是无聊的物理。物理学家真正关心的实验涉及带有环圈（loop）的费曼图。环圈表示粒子发射然后重新吸收额外粒子的情况。当电子与正电子碰撞产生最后的μ子和反μ子对之前，可能发生无限数量的中间碰撞。在这些中间碰撞中，像光子这样的新粒子在被观察到之前出现并湮灭。入射和出射粒子与之前的描述相同，但是那些没有观察到的碰撞过程仍然可能对结果产生微妙的影响。
“这就像某种可以组装的玩具。一旦你画了一个费曼图，你可以根据理论的规则连接更多线条”，加州大学河滨分校的物理学家Flip Tanedo说， “你可以连接更多的棍子，更多的节点，让它更加复杂”。
通过考虑环圈，物理学家可以提高他们的实验精度。（增加环圈就像是计算更多的有效数字一样）。但每次物理学家增加一个环圈，需要考虑的费曼图的数量以及对应积分的难度，就会急剧增加。例如，包含一个环圈的简单系统可能只需要一个费曼图，相同系统的双环圈版本则需要7个费曼图，3个环圈需要72个费曼图。将其增加到5个环圈，需要计算大约12000个积分——相当于数年的计算量。
相比计算冗长乏味的积分，物理学家更愿意观察给定的费曼图的结构来获得最终振幅，就像数学家把周期与动机相联系一样。
“这个过程如此复杂，积分如此困难，所以我们想做的是仅仅以费曼图开始，获得对最终结果（最终积分或周期）的洞察”，Brown说。
不可思议的联系
1994年，Kreimer和英国开放大学的物理学家David Broadhurst在1995年首次将周期和振幅联系在一起，1995年又发表了一篇后续论文。这项工作使数学家推测，所有振幅都是混合泰特动机的周期——以哈佛大学荣誉教授约翰·泰特（John Tate）命名的一种特殊动机。泰特动机中所有周期都是黎曼ζ函数（数论中最有影响力的结构之一）的多个数值。在电子-正电子入射、μ子-反μ子出射的情况下，振幅的主要部分来自黎曼ζ函数取3时的6倍。
如果所有振幅都是黎曼ζ函数的多个数值，那么物理学家就可以对一类明确定义的数字进行研究。但在2012年Brown和他的合作者OliverSchnetz证明事实并非如此。虽然物理学家目前遇到的所有振幅可能都混合泰特动机的周期，“但那里潜伏着怪物，会阻碍你的工作”，Brown说。这些怪物 “肯定是周期，但它们并不是人们期望的那种漂亮简单的周期”。
不过，物理学家和数学家知道的是，费曼图中环圈的数量似乎与被称作“权重”（weight）的数学概念有关。权重是一个数字，它与积分的空间维度有关：一维空间上的积分的权重可以为0,1或2；二维空间上的周期积分的权重最高可以为4，等等。权重也可以用于将周期分为不同类型：据推测，所有权重为0的周期为代数数，它可以是多项式方程的解（这还没有得到证明）；钟摆的周期权重总是1; pi是权重为2的周期；并且黎曼ζ函数的值的权重总是等于取值的2倍（因此黎曼ζ函数取3时，其权重为6）。
这种通过权重的对周期分类的方法也被用在了费曼图中：费曼图中的环圈的数量以某种方式与其振幅的权重相关联。没有环圈的费曼图的振幅权重为；一个环圈的费曼图的振幅是混合泰特动机的所有周期，并且权重最多为4。对于更多环圈的费曼图，数学家怀疑这种关系依然存在，即使他们还没有算出这个结果。
“如果我们研究更多的环圈的费曼图，我们就能看到一种更加普遍的周期，”Kreimer说。 “有一些数学家对此非常感兴趣，因为他们不太了解不属于非混合泰特动机的动机。”
数学家和物理学家目前正在试图确定问题的范围和解决问题。数学家向物理学家推荐可用于描述费曼图的函数（及其积分）。物理学家得到不同的粒子碰撞过程，这又需要数学家用函数之外的东西来解释。“物理学家如此迅速地吸收相当深入的数学思想，这让人惊叹”，Brown说，“为了向物理学家提供所需的数学，我们已经用尽了经典数字和函数”。
大自然的群
自17世纪以来，微积分不断发展，物理世界中出现的数字已经告诉我们数学的进步。今天也是这样的情况。Brown说，来自物理学的周期“就像是神以某种方式创造的，这意味着它一定包含许多结构，这是数学家很难想出或发明出来的”。
Kreimer补充说：“大自然想要的周期似乎是一个比数学能够定义的周期更小的集合，但是我们不能非常清楚地定义这个子集是什么。”
Brown正在试图证明有一种数学上的群——伽罗瓦群（Galois group）可以作用在费曼图周期的集合上。“对于目前已经计算的每一个例子，答案似乎都是肯定的”，他说，但证明这种关系明确存在仍然遥不可及。“如果确实存在一个群可以作用在来自物理的数字上，那就意味着你找到了一大类对称性”，Brown说，“如果这是真的，那么下一个问题就是为什么存在这个巨大的对称群以及可能的物理意义是什么”。
除此之外，它将加深人们对两个迥然不同的基本几何结构之间的关系：动机，数学家50年前为了理解多项式方程的解而创造的概念，以及费曼图、粒子碰撞的示意图。每个费曼图都有一个对应的动机，但动机的结构与对应费曼图的结构之间究竟存在什么样的联系，依然没人知道答案。
