为什么会存在异方差？

正文

想起写这个是因为跟 @洁白似血 在 计量经济学中那些从统计学、初级计量里面带来的恶习 - 学点经济学 - 知乎专栏 下面的讨论。

上面一篇专栏文章里面，我说线性模型的异方差问题在估计上不要做任何的处理，可以使用White-heteroskedasticity robust standard error来处理估计的参数的方差。

而 @洁白似血 同学认为，如果有了异方差，说明误差项里面有一些东西的方差跟x相关，而他很难想象某个经济变量跟x的二阶矩相关却跟一阶矩不相关。所以如果异方差是模型错误设定的信号。

那么现在问题来了，为什么会存在异方差呢？是不是真的如 @洁白似血 所说，异方差意味着模型设定错误呢？

答案当然是，否定的。首先考虑这么一个例子，假设有一个模型：

其中 代表个体， 代表一个group。但是我们观测不到个体的数据，只能观测到加总(平均)的数据：

在这种情况下，如果假设 ，那么可以推出 ，其中 为每个组的个体数目。我们发现，这个方程天然的是异方差的，但是并没有遗漏变量的问题。

也许你会说，这个解释只限于加总数据，那么更微观的数据呢？比如对于单个个人的方程，是不是存在异方差->遗漏变量->模型设定错误呢？

并不见得。我来举个反例。

考虑一项关于结肠癌病人化疗与否（0-1变量）对病人平均预期寿命的研究，我们关心所谓的“平均处理效应”。现在有两种方案，假设可行：

1. 对于结肠癌病人随机分组，计算两个组（T=0/1）的寿命平均值，相减，得到平均处理效应。
2. 直接使用临床数据，计算寿命平均值，相减。

这个一看就知道，第一个方案肯定是有效可靠的，随机分组的实验，没什么可以挑毛病的（如果我只关心平均处理效应而非其他）。

但是这个问题有意思的地方在于，化疗对不同病人的作用是不一样的。对于不化疗的病人，预期寿命可能大约比如一年，少的半年，多的三年。而对于化疗的病人，身体好的，熬过了化疗，有可能直接治愈，预期寿命可能有10年；但是也有人身体素质不好，三个月就挂了。

现在再来考虑以上的两种方案：

1. 随机实验，没有任何自选择，化疗的病人的寿命的方差大于不化疗的病人。
2. 临床数据，自选择。病人可能根据自身的身体情况选择是否接受化疗。最极端的情况是，身体好的选择化疗，身体不好的选择不化疗，异方差会变小，甚至极端情况可能不存在。

那么现在再来考虑一下这个问题，异方差是模型错误设定的信号？似乎不对。正确设定的模型反而有异方差。

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