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怎么让不懂数学的人体会到抽象代数的魅力？

知乎日报  · 公众号  · 问答  · 2025-03-21 21:01

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提问！「抽象代数」是什么？

你的脑海里也许会蹦出一堆枯燥的公式和符号。 其实，数学也可以像艺术一样，充满美感与智慧。 这门「高冷」的学科，在 数学话题优秀答主 @杂然赋流形 的回答下变得生动有趣，一起来看看吧！



怎么让不懂数学的人体会到抽象代数的魅力？


| 答主： 杂然赋流形

音乐。

音乐和数学看上去是截然不同的两个领域，但它们之间有千丝万缕的关系。 早在古希腊时的毕达哥拉斯学派就已经研究了音程与数字比例的关系，提出了「 五度相生律 」 。而在 1739 年欧拉还曾撰写过一本书《新音乐理论的尝试》（Tentamen novae theoriae musicae），试图把音乐和数学结合在一起。在 2006 年 Science 上也有一篇利用非欧几何来研究和弦转换的文章 [1] 。

关于音乐和数学的关系在知乎上有很多讨论了，但可能让人出乎意料的是，音乐和抽象代数之间也有联系（我认为是同时了解基础乐理和抽象代数的人太少了），这一点在巴赫和 勋伯格的 作品里都有一点体现，例如巴赫的 螃蟹卡农 里也运用了逆向对称性。

一个螃蟹卡农的例子，可以看出来上行旋律中的音符顺序和下行旋律中的音符顺序是完全倒转的。

我们可以来看几个更具体的例子[2]，你会发现「 抽象 」代数其实并不抽象。


一、十二平均律

对于一个乐音体系，一个八度中的七个音高都设有名称，即 音名 。

最常用的是英国式音名 C D E F G A B，和大众所熟知的意大利式音名 Do Re Mi Fa Sol La Si 是一一对应的，即 C = Do, D = Re, E = Mi, F = Fa, G = Sol, A = La, B = Si。

以钢琴为例，这些音名在琴键上的位置如下图所示：

钢琴上各琴键对应的音名，♯ 代表升一个半音，♭ 代表降一个半音

钢琴键盘上的五十二个白键，在相应的位置上循环使用这七个音名，每高或低八度则重复音名，即白键音名顺序依次是：C D E F G A B C D E F G A B ……

而相邻的两个琴键（包括白键和黑键），都构成半音，如上图中的 C 和 C♯ 。隔开一个琴键的两个键，都构成全音，如上图中的 F 和 G。这里的 ♯ 是升号（一种 变音记号 ），代表将基本音级升高半音。类似的还有降号、重升号、重降号、还原号，如下图所示：


各种变音记号

而 十二平均律 是现今最主流的音律系统 [3] ，其他常见的还有 纯律 ，以及前面提到过的 五度相生律 。它是把一个八度音程平均分成 12 个对数等距音高的律制，即相邻音高之间的频率比相同，等于 ¹²√2 ，即 2 的 12 次方根。

在钢琴键盘上，十二个音级对应一组 12 个键（见上图中的 7 个白键和 5 个黑键），每个半音的频率比为 r = ¹²√2 ≈ 1.05946。 这样，一个八度的频率关系是 r ¹² = 2 ，即每升高 12 个半音，频率恰好翻倍。

一个八度音程里的十二个音级分别为

𝐶 , 𝐶 ♯ , 𝐷 , 𝐷 ♯ , 𝐸 , 𝐹 , 𝐹 ♯ , 𝐺 , 𝐺 ♯ , 𝐴 , 𝐴 ♯ , 𝐵


接下来让我们回到数学中。

从群论的视角来看，音级的名称就可以视为一个 循环群 ，因为升高 12 个半音后会回到相同的音名上（即八度关系）。因此，十二平均律的音名集合可以被描述为 模 12 的整数加法群 Z12 ，即

𝑍 12 = { 0 , 1 , 2 , … , 11 } ,

其中不同元素表示不同音级（ 例如 C = 0 ， C ♯ = 1， D = 2,..., B = 11 ），加法表示音程叠加（例如，对应 C + 7 = G, 对应 7 半音），而模运算确保音名循环。

引入 Z12 的好处就是，它可以解释很多音乐理论中的概念，例如：

1. 移调： 构造映射 Tn：Z12 →Z12， 其中Tn（x）：=（x + n）mod12 T n ( x ) := ( x + n ) m o d 12 " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">


一个移调的例子，第一行的旋律处于 D 大调，而第二行的旋律与之完全相同，只是整体下降了一个大三度，变为 B♭ 大调。

2. 转位： 构造映射 In：Z12 →Z12 ，其中I n（x）：=（-x + n）mod12

3. 如果我们把十二个音名分别画出来，放在正十二边形的顶点上，构成一个 音类圆周 。那么 T n 实际上是让音类圆周绕中心进行旋转，而 I n 代表沿过音类圆周中心的对角线的反射。

显然 T n ， I n 的操作集合保持此正十二边形不变，因此它们构成了 二面体群 D 12 。


移调和转位的操作集合构成了二面体群 D_{12}


4.  在 Z 12 群中，我们可以将 和弦 视为一个 子集 ，例如 C 大三和弦 { 0 , 4 , 7 } 以及 c 小三和弦 {  0 , 3 , 7 }。既然我们有了一个子集，就可以利用群作用的一些概念和性质来分析和弦以及和弦转换。例如 I 0 作用到 C 大三和弦会得到 f 小三和弦， I 0 { 0 , 4 , 7 } = { 0 , 8 , 5 } 。

I 0 作用到 C 大三和弦会得到 f 小三和弦

5. 传统大调（ C 大调：{ 0 , 2 , 4 , 5 , 7 , 9 , 11 }  ) 可以通过模 12 加法循环产生不同的调式，例如 Dorian 调式、Phrygian 调式，这些变换操作可以视为是 群 Z 12 的循环子群 。

6.  and so on……

二、五度圈

在十二平均律下，所有音程都由固定的半音数决定。 例如，五度（纯五度）对应于频率比为 3 : 2 或非常接近 3 : 2 的一对音高的音程[4]，由于 r 7 ≈ 1.4983 , 那么在十二平均律中，纯五度 = 7 半音。

具体来说：

  • 纯一度 = 0 半音；

  • 小二度 = 1 半音；

  • 大二度 = 2 半音；

  • 小三度 = 3 半音；

  • 大三度 = 4 半音；

  • 纯四度 = 5 半音；

  • 增四度 / 减五度 = 6 半音；

  • 纯五度 = 7 半音；

  • 小六度 = 8 半音；

  • 大六度 = 9 半音；

  • 小七度 = 10 半音；

  • 大七度 = 11 半音。

  • 纯八度 = 12 半音。

由七个基本音级（ C D E F G A B ）构成的调——C 调，叫做基本调。由基本调开始向上，按照纯五度关系连续相生（ 即每个音级向上移动 7 个半音），依此可以得到 G 调、D 调、A 调、E 调……等新调。

我们把各大调按照纯五度关系依次排列，顺时针代表上行纯五度，逆时针代表下行纯五度，这样我们就得到了著名的五度圈 [5]，如下图所示

五度圈，其中 Minor 代表小调，Major 代表大调


五度关系意味着每个音向上移动了 7 个半音，在我们第一节引入的模 12 的整数加法群 Z 12 中，这操作其实就代表着加 7 取模 12，即 T 7 。由于五度圈里覆盖了所有的十二大调、十二小调，没有遗漏，所以 T 7 生成的群也是一个 12 阶的循环群 C 12 ，它和 Z 12 是同构的。

这一点可以从群论角度理解，由于 7 和 12 互素，即 gcd（ 7，12 ）=1 ，它同样可以生成整个十二阶循环群。另一方面，由于 gcd（ 13，12 ）=3，gcd（ 4，12 ）= 4 ，于是由小三度关系和大三度关系不能生成所有的大调、小调，它们生成的实际上是 Z 12 的循环子群。


三、新黎曼理论与 PLR 群

如果单单止步于此那也没什么值得稀奇的，毕竟循环群在我们生活中随处可见。

但在调性音乐中，不同和弦之间的变换可以用数学方法来分析。 一个重要的理论分支是新黎曼理论 [6]（Neo-Riemannian theory），其中最重要的内容是 PLR 转换模型 和 音网。 相比于传统的调性分析，新里曼理论更强调和弦之间的局部关系。

在新黎曼理论中，三和弦之间有三种基本转换方式，分别为：

  • P ( Parallel )：平行变换 ，将大三和弦的三音向下移动半音，或是将小三和弦的三音向上移动半音，例如 P ( C − m a j o r ) = c − m i n o r " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝑃 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑐 − m i n o r


  • L ( Leading-tone exchange ) ：导音交换 ，将大三和弦的根音向下移动半音，或是将小三和弦的五音向上移动半音，例如 L ( C − m a j o r ) = e − m i n o r " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝐿 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑒 − m i n o r

  • L ( C − m a j o r ) = e − m i n o r " role="presentation" style=" font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 1.6; word-break: break-word; top: 0px; left: 0px; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); user-select: none; transition: none; overflow: hidden !important; display: block !important; ">

  • R ( Relative )：关系变换 ，将大三和弦的五音向上移动一个全音，或是将小三和弦的根音向下移动一个全音，例如 R ( C − m a j o r ) = a − m i n o r " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝑅 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑎 − m i n o r

注意 ， P , L , R " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝑃 , 𝐿 , 𝑅 变换的任意组合作用在大三和弦上的效果与作用在小三和线上的效果是相反的。具体用公式写出来，它们实际定义了三和弦 S " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝑆 到三和弦 S " role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; "> 𝑆 的映射，即

𝑃 { 𝑦 1 , 𝑦







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