从拉格朗日插值法到范德蒙行列式

之前我写过一篇文章：关于 牛顿插值法 的，其中解释了什么是插值法？为什么要有插值法？大家对此感兴趣可以去看看。

还有另外一种插值法，叫做拉格朗日插值法，也是以大牛冠名的，我们来看看它是怎么推导的？

1 拉格朗日插值法

比如说，已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：

使用多项式画出这根曲线是完全可行的，关于这点可以参看我写的 如何理解泰勒公式？

我们可以合理的假设，这根曲线是一个二次多项式：

这是因为有三个已知的点，可以通过下列方程组解出这个二次多项式：

不过这里不打算通过解方程来得到这根二次曲线，我们来看看拉格朗日是怎么解出这根曲线的？

1.1 拉格朗日的思考

约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 － 1813），可能是这么思考的。

首先，肯定得是二次曲线，这个之前我们就已经说明过了。

其次，拉格朗日认为可以通过三根二次曲线相加来达到目标。那这是怎么的三根二次曲线呢？

第一根曲线 ，在 点处，取值为1，其余两点取值为0：

为什么这么做？看下去就知道了。

第二根曲线 ，在 点处，取值为1，其余两点取值为0：

第三根曲线 ，在 点处，取值为1，其余两点取值为0：

这三根曲线就是拉格朗日需要的，我们来看看为什么？

• 可以保证，在 点处，取值为 ，其余两点取值为0。

• 可以保证，在 点处，取值为 ，其余两点取值为0。

• 可以保证，在 点处，取值为 ，其余两点取值为0。

那么：

可以一一穿过这三个点，我们来看看：

拉格朗日伯爵说，看，这三根曲线就可以组成我在寻找的曲线：

真的是非常精彩的思考啊。

1.2 插值法的推导

到了严格化的时候了，我们用符号来表示 。

首先， 必须是二次函数。

其次，需要满足的条件：

那么，如下构造 很显然可以满足上述条件（代值进去就可以验算）：

更一般的有：

因此，最终我们得到：

这就是拉格朗日插值法。上面的思路要推广到更多点的插值也非常容易。

牛顿插值法的也是多项式插值法，拉格朗日插值法也是多项式插值法，那么，两者得到的多项式是否是同一个多项式？

2 拉格朗日插值法、牛顿插值法、范德蒙行列式

要回答刚才提出的问题，得看看我们最早提出的方程组怎么解？

这三个点是已知的，所以上面实际是一个线性方程组：