【香樟推文0914】考虑偏度和峰度的稳健投资组合方法

　　传统的马科维茨模型仅仅考虑了投资组合的期望和方差，并通过二次规划决定最优的投资组合。在实务者而言，偏度和峰度同样重要。当一个投资组合收益为负偏时，相对于右尾，更有可能发生极端的左尾事件。因此投资者更加偏好正偏收益分布。同样，有更低峰度的投资组合倾向于发生更少的极端事件，因此也同样被投资者青睐。

　　很明显，传统的均值-方差方法仅仅考虑前二阶矩，一种修正的方法是在构造投资组合时加入和控制三阶和四阶矩。最直接的方式就是将偏度和峰度直接引入到目标函数中。

　　传统的均值方差模型可以用如下表示：

　　给定协方差矩阵表示方式为，则投资组合收益的三阶中心距可以表示为。类似地，收益的四阶中心距可以表示为。

　　因此，均值-方差模型可以拓展成如下所示：

　　优化上述模型存在两个主要问题：第一，三阶中心矩项为三次函数，因此这使得上述模型非凸，这会导致计算难度上的增加。第二，由于协偏度矩阵是三维的，计算的参数个数达到了阶，这使得获得可信赖的估计值变得的困难。四阶矩面临同样的问题且更加复杂。本文提供了一种方法可以在均值-方差框架下无须引入三阶和四阶中心距却可以控制资产组合收益的高阶矩。

　　建立均值-方差模型的稳健形式

　　其中，令为代表n个风险资产收益的随机向量。我们假定其存在四阶矩。同时，我们假定为r的样本且独立同分布。令和为第i个样本的均值和协方差，因此我们可以定义如下一个联合不确定集合，

　　Kim等证明了，如果联合不确定集包含大量的样本均值和样本协方差，且每一对样本均值和样本协方差是从较大的样本中获得的，则上述优化问题会倾向于寻找较高的正的偏度和一个较低的峰度的结果，而这恰好是投资者所偏好的。Kim的结果表明稳健投资组合倾向于得到“瘦尾”分布，因此更不容易受到异常值的影响。

　　在实证分析部分，论文作者同时构建了均值-方差投资组合和稳健形式的投资组合，采用1983年到2012年10行业工7566天的日度数据。表1为10行业资产组合的描述统计量。

　　文中作者通过改变如下三个参数来判断模型的优劣，风险厌恶洗漱，不确定集中样本均值和样本协方差的对数，以及获得样本均值和样本协方差需要的样本容量。其中，基准参数设定如下：

　　图2为基准条件下的结果。通过稳健投资组合构造的100个结果，不仅其三阶矩均高于传统的均值-方差模型，峰度也均小于传统的均值-方差模型，这进一步表明稳健投资组合方法的实用性。

　　图3给出了当某一参数改变而其他参数保持在基准参数时检验结果。图A表明，在大多数情况下，稳健投资组合在三阶中心距和四阶中心距方面均优于均值-方差组合，这表明参数的变化不会影响优化的稳健性。图B和图C为I和J变化时的结果，且表明随着I和J的增加，稳健投资组合会有更好的表现。

　　本文作者在数学上证明了当不确定集正确构造时，基于稳健投资组合构造的最优权重会会有更大的偏度和更低的峰度，基于该方法，提出了一种新的均值-方差方法而不需要添加高阶矩项，同时实证检验证明了该方法的有效性。