一阶构造

首先，我们用我们最熟知的形式的拉格朗日量 来讨论. 我们讨论的系统是封闭的微分系统，它位于一个流形上，因此拉格朗日量的形式不随时间变化，我们有

系统的演化方程正是我们熟知的欧拉-拉格朗日方程

对于最一般的系统，我们假设它的拉格朗日量是非简并的，即黑塞矩阵满秩，我们有

因此，广义坐标对时间的二阶导数可以写为一个函数

代入流形所确定的初始条件，可以得到系统的演化方程

其中 .

可以看到，这是一个二阶微分系统. 由于确定流形需要两个初始条件，我们也就需要两个正交坐标. 通常，我们可以取

由于系统的拉格朗日量是非简并的，我们可以通过变换反解出的函数表达式 ，且

接下来，我们通过一个勒让德变换就可以得到体系的哈密顿量了.

对两个坐标取时间的一阶导数，就得到了我们所熟知的正则方程

我们暂停一下理一理思路. 进行到这里我们也就发现，哈密顿量实际上反映的是系统随时间的演化情况. 当拉格朗日量不显含时间时，哈密顿量就会是一个守恒量. 这也就是时间平移对称性能够得到能量守恒定律的原因. 同时，由于我们取的坐标是正交坐标，因此这个守恒量也是唯一的.

以一维谐振子为例，它的拉格朗日量是

取正交坐标

则. 于是系统的哈密顿量为

现在我们需要注意到一个很重要的事情：由于哈密顿量关于都是平方项，因此这个系统的哈密顿量 是有下界的，这个下界是零.

到此，我们已经进行了一套非常熟悉的操作，也得到了非常熟悉的结果.

上面的结果正是牛顿第二定律同样会给出的.

下面，我们要开始走入不被牛顿第二定律支配的领域了.

二阶构造

现在我们来考虑一个不被牛顿第二定律支配的系统，它的拉格朗日量不仅含有广义速度，还含有广义加速度，即

同样，我们考虑最一般的非简并系统. 由于的存在，这个系统变得更“深”了，那么此时非简并就意味着

此时，欧拉-拉格朗日方程变为了

于是我们可以写出一个这样的解

现在的系统是一个四阶微分系统，我们需要四个正交坐标. Ostrogradsky选择的坐标是

观察四个坐标的形式，只有 关于时间是三阶量，因此 可以被写作一个函数

同样，我们通过勒让德变换得到哈密顿量

相应的正则方程为

为了检验这组正则方程对系统随时间演化的描述，可以将正则方程代入正交坐标的定义式 ，我就不再赘述了.

我们再看一个一维谐振子的例子，它的拉格朗日量为

其中两个本征频率

四个待定常数

我们将上面的解代入坐标的定义式就可以得到 的具体表达式. 将上面的表达式代入勒让德变换，得到哈密顿量

可以看到，体系的哈密顿量是两个振动模式的线性叠加，其中一项带有正的能量，另一项带有负的能量. 有意思的是，表达式中所有的常系数都只与初始条件或系统参数有关，这就意味着上面的正负两项贡献是等价的. 这也就是说，在特定的初始条件下，二阶构造得到的哈密顿量是没有下界的. 这就是在拉格朗日量中引入 的恶果.

N阶构造

在上面的二阶情况中，我们已经看到了引入 将会致使哈密顿量成为无界量. 那如果是引入 乃至更高阶的情况呢？我们现在考虑一个N阶拉格朗日量

这时，欧拉-拉格朗日方程变为

和前面一样，我们取 个正交坐标

同时存在一个函数 使得

进行勒让德变换，哈密顿量为

正则方程为

由于

所以N阶构造得到的哈密顿量确实反映了系统随时间的演化. 我们选择的坐标为正交坐标，因此这个量实际就是体系的能量. 我们注意到，N阶构造的哈密顿量关于 是线性的，因此在特定初始条件下，它们总是无界的，而只有 才有可能是有下界的. 可见，不断增加更多高阶项，只会使情况更糟糕.

无界哈密顿量

从上面的讨论可以看出，如果在拉格朗日量中引入了 或更高阶的独立因子，系统的哈密顿量就会变成一个无界量. 事实上，由于我们取的是正交坐标，哈密顿量就是体系的能量.

而我们知道，一个自然演化的系统需要遵循哈密顿原理，那么体系将会向着能量的极小值点演化.

如果我们遇到一个线性无界的哈密顿量，这样的演化便会得到非物理的结果——能量没有下界，系统无法以稳定的形态存在.

这就是为什么在经典力学中，牛顿第二定律必须正比于 ，而非其他阶数的因子.

值得一提的是，在经典力学之外，上面的无界哈密顿量是被允许存在的， 这样的性质也被称为Ostrogradsky不稳定性. 这种不稳定性会使系统的各个动力学参数以一种特殊的方式随着时间演化，而不是趋向于一个具体的数值.

结语

这篇文章来源于作者某天挂方舟活动时的突发奇想，即便比较精简，但也算完整了（我还专门写了两篇的数学基础）. 不过也确实是解决了一直以来关于牛顿第二定律的一个疑问，所以自己还是比较满意的. 写文章的时候读的几篇paper里面还有一些其他有意思的内容，或许还有机会继续更新，不过大概率是要咕咕了（谁知道呢）.

参考

[1] S. Shanmugadhasan. Canonical formalism for degenerate Lagrangians. Journal of Mathematical Physics. 14, 677(1973).

[2] Goldstein, H. (1980).Classical Mechanics. Addison-Wesley.