十五-十六世纪的欧洲人对于遥远的东方有着诸多幻想，这种幻想很大一部分来自于《马可波罗游记》。在《马可波罗游记》中
（游记里中国处于元朝忽必烈时期，也就是成吉思汗远征欧洲不久
），东亚被描述成为物资丰饶、建筑堂皇、交通便利的所在，活脱脱一个白富美的神圣形象。白富美通常是可望不可即的，更何况当时欧洲和东亚之间隔了一个高富帅——土耳其人建立的奥斯曼帝国。高富帅身强体壮，没法强行逾越；而《马可波罗游记》只是一本“美女图册”而非“泡妞指南”，因此要想追到白富美，还得另想它法。
有人会说，既然高富帅霸占了陆地，那么走水路不就好了呗！从现在的科技看来，条条大路都能通罗马，确实再简单不过了。但是要注意，当时欧洲大部分人认为地球是平的[1]，如果船航行到地球边界，会发生如下惨案：
追求白富美的道路是坎坷的
所以当时欧洲大部分人都放弃了对白富美的追求。而麦哲伦则不同，他不仅“色胆包天”，而且坚信地球是圆的：只要心够狠，往西走也能追到东方的白富美。心动不如行动，他在1519年组建了一支两百多号人的队伍，开始了通往东方的极乐之旅[2]。
麦哲伦
可想而知，由于技术的落后，麦哲伦的这次环航之旅充满了四伏危机与艰难险阻，两百多人的队伍最后只有十八人生还，而麦哲伦本人也在菲律宾被当地土著射杀
（尽管是他作死在先，硬要强行征服菲律宾）
。无论如何，麦哲伦和他的队伍以亲身实践，甚至以生命的代价将世界上首部“泡妞手册”印刻在了历史的车轮上，成为了世界近代史的标志性事件。有词为证：
永遇乐·环游
by 小编
黄祸西冲，丝路既断，鼠疫平川。奥斯帝国，转物提资，困兽无东迁。黄金似梦，极乐难寻，天门此消彼现。辟航路，先辈作古，英杰纵横江山。
朽木惊涛，脆帆危杆，唯闻东风相伴。天涯客处，浪子何居？孤海任飘散。跨洋三载，殖民四处，壮志魂归西天。告后人，世若圆球，天下通连。
其中最后一句话常常作为结论出现在历史课本上——麦哲伦环航世界证明了地球是圆的。卫星图片告诉我们地球确实是圆
（接近于球形）
的，但这是二十世纪以后的事了。出生在十五世纪麦哲伦真的证明了地球是圆的吗？如果麦哲伦的航行发生在十九世纪，那么当时的数学家会告诉我们答案：
未必如此
。
数学家们对局部和整体有着强烈的敏感性。如何从局部的信息推断整体的轮廓，是现代数学的基本思想，并且这一思想诱发了大量前沿概念的产生
（例如流形、向量丛、纤维从、层、谱序列等）
。
尽管
麦哲伦环航了世界，但他只是走了其中的一条航线而已，如何从一条航线这一
局部信息
就能给出“地球是圆的”这一
整体性的结论
呢？
数学家可以提出很多地球形状的假设来拟合麦哲伦的航行结果，例如：
地球的可能形状
所以单从一次航行的结果看来，我们是无法判断出地球长什么样的。
那么如果假设麦哲伦和超级赛亚人一样拥有无穷精力，把每条环球航路都试了个遍，是不是就能肯定地球是圆的了呢？答案依旧是否定的，这充其量只能排除“莫比乌斯带”的情况
（因为莫比乌斯带的边缘是尖的，船绕不过去）
。如果地球是圆的，那么从同一个地点出发的几条航线如下图所示：
尽管这几条航线南辕北辙，他们之间存在某种“相似性”
（例如上图中这几条航线可以通过绕球心旋转相互转换）
。而如果地球是一个圆环面，情况就不一样了：
无论怎么“连续”变换，我们可以发现，这两种航线都是不可能重合的。在数学里面，用
同伦变换
（Homotopy，也就是我们平常所说的拓扑变换）
来表示这种“连续”的变换。这里的“连续”加了一个引号，是因为在不同的数学分支里面，“连续变换”有不同的含义，以下是大致总结：
我们可以从中看出，就算是看似相似的两个分支
（例如代数拓扑与微分拓扑，这两个分支的基本思想有较大的差别）
，对同一个直观概念也有不同的理解方式，而正是这些不同的理解方式造成了数学分支的多元化发展，也同时铸就了这些不同分支之间的相辅相成。
尊重
并了解
不同分支的不同思维习惯
，
是全面掌握这一分支的前提
。相信上面这张表对读者们了解现代数学的发展情况会有很大帮助。
我们回到圆环面的话题。我们把那两条“同床异梦”的航线的同伦等价类
（见下图）
分别记作a和b。庞加莱
（对，就是庞加莱猜想的提出者和混沌系统的发现者）
在1895年首次给出了两条不同航线a和b之间的“乘法”
（这种乘法非常符合几何直观）
[3]，因而赋予这些航线的同伦等价类以
群
的结构。庞加莱把这个群称作
基本群
（fundamental group）
，记作π1(M)
（M在这里表示任一曲面，比如此处的圆环面。为简单起见我们只考虑道路联通的曲面）
。
圆环面的基本群有两个自由生成元，且两者互不相关，因此圆环面的基本群就是Z×Z，
（两个整数群的直积，不熟悉群论的读者可以跳过）
，而球的基本群则是平凡
（trival）
的
。不同曲面
（几何对象）
的异同，可以在一定程度上从基本群的异同中看出端倪，这样就把一个
直观却难以描述的拓扑问题转换为了一个抽象却可以计算的代数问题
。
一些细心的读者注意到，基本群π1(M)中间有一个“1”，那么有没有π0(M)，π2(M)，πn(M)呢？答案是肯定的，这些群被统称为
同伦群
（homotopy group，严格定义可参考[6]的第一和四章）
，而基本群π1(M)又被称作第一同伦群。数字“1”表示麦哲伦走的航线是一维的，如果航线是n维的
（n维球面）
，对应的同伦群就是第n同伦群
（见下图）
。一个有趣的现象是，二维及以上的同伦群都是交换群，但基本群一般说来不是交换群。这也赋予了基本群在代数拓扑领域的特殊地位。
同伦群是描述曲面（几何对象）连通性的最有效方式
到现在为止，读者们也许对拓扑和几何的区别有了点懵懵懂懂的印象。我们所熟悉的几何是一个古老的学科，它研究“形”的方方面面，例如线段长度、面积大小、垂直平行关系等等。从这个角度看来，拓扑算是几何的一个分支，只不过拓扑学
（特指代数拓扑）
的基本思想是以不变应万变，它只关心曲面
（几何对象）
的内在不变性
（例如同伦群的结构）
，而不关心曲面的面积、曲率等。麦哲伦的时代还没有拓扑的概念，所以才会犯下这个以偏概全的错误。
尽管同伦群能很好地描述曲面的连通性，它有有两个最大的问题，一是高维同伦群计算过于复杂，需要综合调用其他数学分支的思想
（最常用的方法是纤维化）
；二是不能很直观地描述一些拓扑不变量。例如圆环面上的“洞”
（数学上称之为亏格）
就难以用同伦群来描述。
如何解决这一难题呢？在十九世纪中叶，意大利数学家贝蒂
（Betti）
从欧拉多面体公式中获得灵感，使得任何曲面都可以有类似于欧拉公式那样的结论。我们先来回忆一下欧拉多面体公式的定义：
这个公式只对多面体适用。要知道曲面可是很圆滑的，圆滑的人总是要比有棱有角的老实人难对付点。怎么把它推广到任意曲面上去呢？答案：强行把圆滑的曲面进行剖分，创造出它的棱和角。例如对于圆环面，可以考虑方体剖分
（传统的做法是三角剖分，但两者并无实质区别）
：
这样就可以应用欧拉多面体公式了！不过正如上图所示，同一个曲面可能有不同的剖分方式，而贝蒂则证明了无论如何剖分，面数-边数+顶点数都是一个常数，而且这个常数只和曲面上“洞”的个数
（亏格）
有关。这一结论可以被拓展到高维情景，并且贝蒂把高维“点数、面数、边数”的某种等价类定义为
贝蒂数
（Betti number，贝蒂称之为“同调数”）
。也许贝蒂不会想到，他的这一思想会成为现代代数拓扑的核心思想。
值得一提的是，就算强如庞加莱，也没能发现贝蒂数中竟然也蕴含着群的结构
（也就是同调群）
，这点令后来的数学家们感到诧异[5]。同调群的引入已经是二十世纪以后的事情了，它能比贝蒂数更全面地反应对应曲面
（几何对象）
的拓扑结构。所以若要确定某个曲面的拓扑结构，归根结底，
就是计算该曲面的同调群
。同调群的准确定义可以参考文献[6]的第二章
（第一章是讲基本群，完全可以跳过）
。
和同伦群一样，同调群也有维数之分，不同的是n维同调群反应了n维单形
（也就是n维的点线面）
的信息，而n维同伦群则反应了n维“航线”的信息。这一差异也最终导致了两个
概念的殊途而不同归——同调群的计算比同伦群简单一些
（尽管也很麻烦）
，且更能直观反应曲面的
拓扑不变量
；而同伦群更能反应曲面的各种
连通性
。
