朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-03-31 22:05

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来源：imath

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在1967给数学家安德烈·韦伊的信中，数学家朗兰兹提出一个著名的猜想，现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领，在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。

背景介绍

我们认识数学基本上都是从整数开始的，然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支 - 数论，就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，费马大定理等。

几何同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何，这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来，代数几何的发展非常迅速，大家辈出，在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。

群论的产生只有一百多年，源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支――群论在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌，影响几乎遍及整个数学，在物理和化学及材料科学中有很多的应用，是研究对称的基本工具。

朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支：数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数，被称为L-函数。L-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个“千禧年大奖问题”中有两个就是关于L-函数的，它们分别是黎曼假设和BSD猜想。它们的重要性由此可见一斑。

朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗华群的一些表示的L-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。