圣杯问题：陈类的巧妙应用

波士顿三一教堂，姜健摄影。

2016年10月4日，诺贝尔评选委员会宣布将2016年诺贝尔物理学奖授予华盛顿大学的 Davdi J. Thouless, 普利斯顿大学的 F. Duncan M. Haldane 与布朗大学的 J. Micheal Kosterlitz， “因其拓扑相变和拓扑物态的理论发现”。Thouless 及其合作者 Kosterlitz 还发现了固体中能带上的“陈省身示性类”，他们历史上首次把陈类和整数量子霍尔效应直接联系了起来，开创了凝聚态物理体系中的拓扑效应先河，为人类打开了一个未知的世界。

作为陈省身大师的直系后代，老顾和同门师兄师弟们无不激越振奋，再度感喟陈大师的旷世杰作，横亘古今，揭示了自然最为深刻而根本的真理。丘先生曾多次教诲众弟子，“奥妙的自然现象后面必然有优美的数学结构”，“美轮美奂的数学结构必定不是人为的，必然有自然的对应”。当初，卡拉比-丘流形的存在性被丘先生证明之后，数十年间一直被视为是纯粹智力的产物，但是现在早已成为超弦理论的基石。

令老顾觉得妙不可言的是：陈省身示性类在“神圣网格”问题中，也起到了根本的作用。因此，在得知拓扑相变获得诺贝尔奖之后，老顾迫不及待地提笔写下这篇文章。

假设 是三维空间中的一个实体（Solid），其边界 是一张光滑曲面（Regular Surface），更进一步，我们假设 是亏格为 0 的封闭曲面，换言之，拓扑球面。假设 内部存在一个六面体网格 （hex-mesh），那么 必然在边界曲面 上诱导了四边形剖分 （quad-mesh）。我们更为关注其逆问题：给定边界曲面 上的一个四边形网格 ，我们是否可以将 拓展成 内部的一个六面体网格 ？

图1. 给定边界曲面 的四边形网格 。

图2. 判定 是否可以拓展成 内部的六面体网格 。

如图1所示，边界曲面 为一拓扑曲面，具有复杂的几何；其上的四边形网格 具有复杂的组合结构。那么，我们如何判定是否存在如图2所示的 内部的六面体网格 ，并且 在边界上诱导 ？

经过大量实践经验的积累，工程师们发现，如果网格 有偶数个四边形面，那么四边形网格总可以拓展成为六面体网格 。于是，人们提出了如下的猜测：

边界曲面 上的四边形网格 可以拓展成 内部的一个六面体网格 的充分必要条件是： 具有偶数个面。

这个猜测的陈述简单明快，但是其严格证明却异常繁难。必要性的证明非常直接：每个六面体有 6 个面，若两个六面体相交，则其公共面被计算两次，边界曲面上的四边形面只被计算一次，因此 具有偶数个面。

猜测的充分性证明成为关键。Mac Casale 为此给菲尔茨奖得主瑟斯顿（Bill Thurston）发去了电子邮件进行询问。瑟斯顿在1993年10月25日给出了公开解答^[1]，瑟斯顿的解答简短抽象，但却意蕴深远。瑟斯顿从未正式发表他的想法，但是其思想精髓指导了非结构六面体网格生成领域的发展。在1996年，Scott Mitchell 发表了类似思想，并将这一方法推广到复杂拓扑曲面^[2]。目前，人们将这一理论统称为 Mitchell-Thurston 理论。

瑟斯顿首先只考虑了拓扑六面体剖分，即每个胞腔是拓扑六面体，然后再考虑几何嵌入问题。我们依循他的思路来考察，核心的想法是对偶。

图3. 四边形网格 的对偶 。

我们首先介绍边界曲面 上的四边形网格 的对偶 。如图3所示，我们在每个四边形中连接对边中点，生成两条曲线段，这些曲线段连接成全局封闭的圈，这些圈彼此相交，构成对偶的曲线网格 ，对偶曲线网格 所有顶点的度都是 4。

图4. 六面体网格 的对偶 。

同理，我们介绍实体 的六面体网格 的对偶 。如图4所示，我们在每个六面体中构造三张曲面片，彼此横截相交，共同交于一点。这些曲面片连接，得到全局曲面，这些曲面横截相交，构成对偶的曲面网格 。 将体 进行胞腔分解， 的每个顶点都由三张曲面彼此横截相交得来。

六面体网格的对偶 和边界曲面 的交集就是四边形网格的对偶 。瑟斯顿的核心想法是从 出发来构建 。问题的关键在于，我们能否从 出发来构建 ，这种构建过程中可能遇到的障碍究竟是什么？

答案在于，光滑曲面的稳定相交情形的拓扑分类。

在微分拓扑中，惠特尼（Whitney）对三维空间中光滑曲面的稳定相交情形进行了分类^[3]。

图5. 曲面稳定相交的分类， 边界双重点（boundary double point），内部双重点（interior double point），三重点（triple point），分支点（branch point）。

给定三维空间中的一族浸入曲面，曲面之间的交点被称为奇异点。经过微小扰动，曲面之间彼此不相切，所有奇异点都是稳定奇异点。图5给出了稳定奇异点的分类。我们看到，在六面体对偶网格  中，前面三种情况都有可能发生，但是最后一种分支奇异点不会发生。因此，在从  出发来构建  的过程中，关键是：确保分支奇异点不会出现！

瑟斯顿把 拓展成 的思路分成两个主要步骤：

第一步， 由一些彼此分离的圈构成，如果两个圈 和 同属于 ，并且 能够光滑地变形（deform）成 ，就是说，存在一族光滑封闭曲线 ，从 渐变成 ，我们可以构造一个曲面 ，使得

1. 曲面 的边缘为 和 ，,

2. 曲面 和平面 的交线为

在这里， 可以退化成点，同时曲面 容许有自相交，换言之，曲面 可以”浸入”（immerse）在中，而非一定要“嵌入”（embed）在 中。同时保证曲面 上不存在分支奇异点。

第二步，我们再在 中添加一些拓扑球面，使得所有曲面的交点都不包含分支点。所有这些曲面构成 的胞腔分解，内部顶点都是三重点，由此这些曲面构成了六面体网格的对偶 。

在第一步中，我们需要判定边界曲面上两个光滑封闭曲线是否能够光滑地彼此渐变过去，这就是正则同伦的概念。

正则同伦和通常意义下的同伦具有本质差别。假设光滑曲面 是一个拓扑球面， 和 是光滑封闭曲线（切向量处处有定义），那么 可以在曲面上形变成 ，换言之， 和 彼此同伦（homotopy）。如果我们要求 在形变过程中，不出现尖点，切向量处处有定义，那么我们说 和 彼此正则同伦，或者光滑同伦（regular homotopy）。图6显示，具有偶数个自相交点的圈和简单圈（无自相交点）正则同伦。

图6. 具有偶数个自相交点的圈和简单圈（无自相交点）正则同伦。

图7. 具有奇数个自相交点的圈和简单圈同伦，但是不正则同伦。

图7显示了具有奇数个自相交点的圈和简单圈同伦，但是并不正则同伦，因为在形变过程中，出现了尖点，在尖点处曲线的切向量无法定义。

那么，曲面 上所有光滑圈是如何被正则同伦分类的呢？这里，我们需要引入另一位菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale）的工作。我们考察特殊的一个纤维丛：曲面的单位切丛 （Unit Tangent Bundle）：由曲面上所有的单位切向量构成的三维流形。我们在曲面上固定一个点 ，过此点所有的单位切向量构成一个圈，即一根纤维。局部上看，单位切丛具有直积的结构，整体上看，单位切丛具有具有扭曲，这种扭曲的精确描述就是陈省身示性类。

底流形上的一条光滑曲线 ，可以被“提升”为单位切丛上的一条曲线 ，点 被提升为点 ，这里 s 为弧长参数， 为曲线的单位切向量。斯梅尔证明了：底流形上两个圈正则同伦，当且仅当它们的提升在单位切丛上同伦。因此，问题归结为单位切丛的同伦群计算问题。

我们考察球面的单位切丛。首先，根据“法球定理”（hair ball），我们无法将一个椰子上的须毛梳理光顺，总是存在几个奇异点。换言之，球面上的光滑切矢量场，必然存在零点。用我们现在的语言来解释就是：在单位切丛中，我们是否能够找到一张光滑曲面（全局截面），全局截面和所有的纤维只有一个交点。全局截面的存在性障碍就是陈省身示性类。全局截面，就是曲面上处处非零的光滑切矢量场。

图8. 球面的单位切丛。

我们考察球面 的单位切丛，记为 。半球面上存在处处非零的光滑切矢量场，因此半球面的单位切丛平庸，即单位切丛为圆盘（底空间）和圆周（纤维）的直积，拓扑为实心轮胎，如图8所示，a 代表了纤维，b 代表了赤道。

我们将两个实心轮胎沿着边界粘和就得到 。粘合模式由边界轮胎曲面间的拓扑同胚所决定，。我们用球极投影将球面投射到平面上面，将投影中心设为北极和南极，就得到两个局部坐标 ，坐标变换函数为 ，。由此，我们得到粘和映射 。更为严格的， 的拓扑结构由粘和映射 的同伦类 所决定。如图8所示，粘和映射 诱导了轮胎曲面的同调群之间的同态，，同态在同调群基底上的作用为 ，其矩阵表示为：

。换言之，粘和映射把纤维映成纤维，但是把赤道 b 映成了扭曲的 2a+b。在左边实心轮胎中，存在曲面以 b 为边界；在右边实心轮胎中，不存在任何曲面以 2a+b 为边界。因此，全局截面不存在，这里的 2 就是陈数。

左侧实心轮胎的同伦群为 ，右侧实心轮胎的同伦群为 ，交集的同伦群为 。同时，在 中我们有 ，；在 中我们有 ，。根据 Seifert-van Kampen 定理，我们得到单位切丛的同伦群为:

模2域 只有两个元素 0 和 1，这意味着：在球面的单位切丛上，所有封闭曲线只有两个同伦类。根据斯梅尔定理，在球面上，所有光滑封闭曲线只有两个正则同伦类，具有奇数个自交点的光滑圈彼此光滑同伦，它们都和8字形光滑同伦；具有偶数个自交点的光滑圈彼此同伦，它们都和单点光滑同伦。

图9. 以光滑曲线 为边界的曲面 ，若曲线有偶数个自交点，则 没有分支奇异点；若曲线有奇数个自交点，则 必有分支奇异点。红色曲线是曲面自相交线。

如图9所示，更进一步，假设 具有偶数个自相交点，则我们可以构造一个光滑曲面 以 为边界，同时 有自相交曲线，但是上面没有分支奇异点；反之，若 具有奇数个自相交点，则我们构造的以 为边界的曲面 ，必然有分支奇异点。

那么，我们如何消除分支奇异点呢？瑟斯顿提出了一个绝妙的主意。

瑟斯顿说给了一对分支奇异点，我们可以如图10所示对曲面进行手术，从而消除分支奇异点。

图10. 瑟斯顿的手术，消除分支奇异点^[4]。

我们深究瑟斯顿的想法， 由一些分离的圈组成，他把这些圈依据自相交点数的奇偶分成两类:

，

这里 有偶数个自相交点， 有奇数个自相交点。对于任意一个具有偶数个自相交点的圈 ，我们可以构造一个光滑曲面 ，使得其边缘为 ，，同时 上没有分支奇异点。对于任意一对 ，我们可以运用瑟斯顿的手术构造一个光滑曲面 ，使得其边缘为 ，，同时曲面 上没有分支奇异点。如果具有奇数个自相交点的圈有偶数条，则我们可以构造曲面族 ，它们彼此相交，没有分支奇异点。

有了曲面族 ，下一步我们添加一些气泡来生成六面体网格的对偶 ，然后再将 对偶回去，就会得到 内部的六面体网格 。

图11. 二维的气泡包裹法（bubble-wrap）^[4]。

我们用图11来解释如何添加气泡，使得所有曲面的交点都不是分支奇异点。图11显示的是二维的示意图，其原理可以直接推广到三维情形。首先， 将 内部进行胞腔分解（第一帧），我们再将胞腔分解加细成三角剖分（第二帧），将三角剖分的顶点（3帧），边（4帧）和面（5帧）用气泡包裹，得到最后一帧。在三维情形，我们还需要将所有的四面体内部进行气泡包裹，所得的曲面族（ 并上气泡）彼此相交，每个交点都不是分支奇异点，所有三个内部曲面的交点都是三重点。由此我们得到了六面体网格的对偶 。

至此，我们已经详细分析了 Mitchell-Thurston 理论的所有组成部分，因为逻辑链条过长，我们在这里进行汇总。

假设 是三维空间中的一个实体（Solid），其边界 是一张光滑曲面（Regular Surface），更进一步，我们假设 是亏格为 0 的封闭曲面。假设边界曲面 上给定四边形剖分 ， 具有偶数个四边形面。 的对偶 由一些分离的圈组成，他把这些圈依据自相交点数的奇偶分成两类:

，

这里 有偶数个自相交点， 有奇数个自相交点。根据欧拉公式， 的顶点 V，边 E 和面数 F 满足：

因此顶点数必为偶数。任意两个圈的交点个数必为偶数。因此，所有圈的自相交点的个数必为偶数，具有奇数个自相交的圈 的条数 n 必为偶数。过每一条 构造光滑曲面 ；将 配对，过每对 构造光滑曲面 ，曲面族 没有分支奇异点。再用气泡包裹法，得到六面体网格对偶 。

由此，我们完整地证明了猜测：对于拓扑球面 ，四边形网格 具有偶数个面，则 可以延拓成 内部的六面体网格 ，反之亦然。

Eppstein 给出一种算法，证明了 中六面体的个数和 中的四边形个数之间，可以成线性关系。Mitchell 依据这套理论开发了“鲸须”算法^[6]。

我们看到，貌似简单的六面体网格问题涉及了许多拓扑学中的深刻定理和复杂工具，包括惠特尼的子流形稳定横截理论，陈省身的纤维丛示性类理论，斯梅尔的正则同伦理论，瑟斯顿的手术和气泡包裹技巧。

本文获授权转载自微信公众号“老顾谈几何”。

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