这是一本杰出的科学普及名著，通过对哥德尔的数理逻辑，艾舍尔的版画和巴赫的音乐三者的综合阐述，以精心设计的巧妙笔法，引人入胜地介绍了数理逻辑、可计算理论、人工智能、语言学、遗传学、音乐、绘画等学科领域中的许多艰深理论，而且构思精巧、富于哲学韵味。
一、形式逻辑之美
让我们先从音乐的形式之美谈起。
赋格 (fugue) 是复音音乐的一种固定的创作形式，它的主要结构是：首先在一个声部上，出现一个主题片段（Subject），然后在其他的声部上模仿这个片段。演奏主题的声部与新的声部相对应的乐句，形成相互问答追逐的效果。
看看这个视频就明白了： 格伦·古尔德《你是否想写首赋格》动画版
巴赫是当之无愧的赋格大师，「音乐的奉献」是巴赫在这方面最高成就的作品之一。
它本身就是一部大型的、高度理智化的赋格，许多概念和形式彼此交织。要想理解有多个声部的赋格是多么耸人听闻，可以把即兴创作六个声部的赋格比作同时下六十盘盲棋，而且全部要下赢。
卡农可以看做是更严格单一的「赋格」，由一个单一主题与它自己相伴而奏，主题和副本之间构成和声。更复杂的卡农，在音高和速度上相互交错，还有主题转位，每当原来的主题跳上时，它就跳下，两者所越过的半音数目相同。最玄奥的是逆行 —— 主题依一定时间从后往前奏出。使用了这种技巧的卡农，俗称为「螃蟹卡农」。
巴赫螃蟹卡农视觉图解
赋格和卡农中的「规律」，即是数学中的「同构」。同构是保存信息的变换。两个复杂结构可以相互映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。
在这里，音乐与形式合而为一了。规律产生韵律，音乐即形式，形式即音乐。
「有序」 在巴赫的赋格中体现得淋漓尽致。但「有序」是终极追求吗？美与和谐来自有序吗？智能是将无序变为有序吗？
二、永恒的悖论，永恒的魅力
荷兰版画家艾舍尔的许多作品，都源于悖论、幻觉或双重意义，让人着迷。
瀑布
变形
提到悖论，本书的另一个主角哥德尔出场了。
悖论有一个共同的祸根，就是自指，或称「怪圈」。企图从逻辑学中导出所有的数学，而且一定不能有矛盾，这是很多数学家的理想。但是 1931 年哥德尔发表的论文揭示出，没有一个公理系统可以产生所有的数论真理，除非它是一个不一致的系统。
哥德尔不完全定理：数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。
也就是说：没有什么是完备的。一个人不能抓着自己的头发把自己提起来，上帝也不能制造上帝自己。
悖论是一种死循环，而循环的无限性又让人捉摸不透、欲罢不能。
悖论与禅宗
佛教禅宗的基本教条之一是：没有任何办法能刻划禅宗是什么。悖论是禅宗的一大特点。
人的心智处于困惑状态时，就会在某种程度上不合逻辑的运转。禅宗认为，只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地。
所谓顿悟，最简单的定义或许就是：超越二元论
二元论，就是把世界从概念上划分为种种范畴。事实上，二元论不仅是概念上对世界的划分，同样也是感知觉上对世界的划分。人类的感知觉，本质上是种二元现象。
在禅宗看来，二元论的核心就是词语 —— 普通的词。对词的使用必然导致二元化，因为每个词很明显地就是代表了一个概念范畴。一旦你感知到一个客体，就把它与世界的其余部分划分开了；人为地把世界分成部分，于是就远离了「道」。
词语把我们引向某些真理（可能同时也引向某些虚假） —— 但肯定不能引向所有真理。如果依赖词语走向真理，就如同依赖一个不完全的形式系统而走向真理。无论一个形式系统多么强有力，都不可能给出所有真理。
禅宗采纳整体论，认为整个世界根本就不能被划分为一个个事物。划分世界就会误入歧途，就不能达到顿悟。顿悟状态意味着自我和宇宙之间的分界消解。这将是二元论的真正终结。
禅宗哲学似乎体现了这样一个观念：通向终极真理之路，会是充斥悖论的。
摒弃感知，摒弃逻辑、词语、二元化的思维。这就是禅宗的实质，主义的实质。这即是「无」方式——非智能，非机械，就是「无」。
禅宗并没有给出答案，而是明白最终没有答案。
对有序的追寻，最终落脚到无序。探寻之旅越发的有意思了。
三、智能之谜
鱼和鳞，艾舍尔（木刻，1959）
什么时候两个东西是一样的？
这个简单的问题与智能的性质有着深刻的联系。
信号，意义，模式
我们到底怎样认出一个信号的存在？
任何消息是否本质上具有足够的内在逻辑？是人把意义赋予了材料，还是意义本来就在那里？作者认为，意义在多大程度上以可以预测的方式作用于智能，它就在此程度上是对象的一部分。
任何消息都分三层：框架消息，外在消息，内在消息。在使用任何规则之前，必须有另一个规则来告诉你如何使用这一规则；即，存在一个具有无穷多层次的规则体系，这就组织了任何规则的使用。但是大脑对消息的解码能力反驳了这一理论。若智能是自然的，则意义是固有的。
智能喜爱模式化，厌恶随机性。
如果我们把巴赫的音乐看成遗传型，把它想要激发出来的情感看成表现型，那么我们所感兴趣的问题是：遗传型是否包含了表现型的展现过程所需要的全部信息。若要恢复一条消息，需要在多大程度上理解它所处的环境？DNA 是否具有普遍的触发能力？在没有被置入适当的化学环境时是否仍能导出表现型？答案是否定的，但不是绝对否定。(- -)b
递归与智能
谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里。但是智能的基本能力还是确定的：
对于情境有很灵活的反应
充分利用机遇
弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息
认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的
在存在差异的情景之间能发现它们的相似处
从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别
用旧的概念综合出新的概念，它们用新的方法组合起来
提出全新的观念
程序设计中的递归枚举是个过程，其中新的东西按照一定的规则，从已有的东西中产生出来。复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。
这不就是使智能成为智能的性质之一吗？
与其仅仅考虑由可以递归的调用自身的过程组成的程序，为什么不考虑得更复杂一些，设计出可以修改自身的程序——可以作用于程序本身，扩展、改进、推广、加固程序的程序？智能的核心之处大概就是这种「交织的递归」之所在。
如何给需要智力的行为编出程序呢？这不是最最明显的自相矛盾吗？本书的一个主要论题，就是理解这个」矛盾」：
让读者重新认识存在于形式化和非形式化的、有生命的和无生命的、灵活的和不灵活的事物之间的那些表面上看来不可逾越的鸿沟。这便是人工智能索要研究的全部。人工智能工作的奇异之处就是试图将一长串严格形式化的规则放在一起，用这些规则交给不灵活的机器如何能灵活起来。
描述的层次
在 40 年代，荷兰心理学家阿德里安·德·格鲁特就研究了下棋时新手和大师是怎样感知一个棋局的。大师们以「组块」来感知棋子分布。大师在超前搜索时很少比新手走的更远，他们感知棋局的方式像一个过滤器：在观察局势时已经建立了更高层次的组织，坏棋一般不会被想出来。智能紧密的依赖于为复杂对象——如棋盘、电视屏幕、书页或画面——构造高层描述的能力。
人工智能研究中的一个重大问题，就是要指出如何跨越层次的鸿沟，即如何构造一个系统，使它可以接收一个层次上的描述，然后从中生成另一个层次上的描述。
计算机系统在最高层的描述，极大程度地组块化了。比如，汇编语言的设计思想，是要把各个机器语言的指令「组块化」，当要用一条指令把一个数加到另一个数之上时，不必写「010111000」，而只写 ADD 就行。
不同层次的知识以「组块化」的形式呈现。但是组块化模型可能有个很大的缺点：它通常不具有精确的预测力。
真正造成混乱的是，同一个系统允许两种以上不同层次的描述，而这些描述在某些方面又是彼此相似的。我们进行自我认识时会遇到混乱，因为我们由许多层次构成，同时我们用重叠的语言在所有这些层次上描述我们自己。
意识到自己的思想，这难道不是意识的本质吗？当你意识到自己的思想时，难道不是直接在符号层次上读你的大脑吗？意识系统只是在符号层次上感觉到自己，对更低的层次，如信号层次，则毫无意识。
于是：
人工智能的进展即语言的进展。
大脑，心智和思维
大脑中大约有一百亿个神经元。每个神经元具有若干突触（输入端口）和一个轴突（输出通道）。输入和输出均为电化学流，即移动的离子。一个神经元每秒可「发射」千次决定——就是沿其轴突释放离子，这些离子最终将穿入一个或多个其他神经元的输入端口，致使它们作出同类决定—— 如果所有输入的总和超过了一个确定的阈值则发射；否则不发射。
关于智能一个可能的猜测是：存在着由许多神经元构成的大尺度结构，它们在一个较高的层次上处理概念。但不同概念并不对应一个固定的神经元群。
低层次的神经发射通讯，是如何导致高层次的符号激活通讯的？如果可以建立一个不涉及低层神经事件的理论，那么智能就可能实现于不同于大脑的其他硬件上，而这是 AI 研究的基础中一个关键假设。那表明智能是一种可以从它所在的硬件中「抽取」出来的性质——换句话说，智能是软件。
一个想法若充分经常地在一个人的大脑中重现，它就会逐渐地组块化而形成一个单独的概念。那些一次又一次被人们采纳的通道组成了知识。大脑状态本身不具有说明哪条线路将被采纳的信息。外界环境在决定路线的选择时扮演着极为重要的角色。
关于意识的一种解释：意识是系统的一种性质，每当系统中有服从触发模式的符号时，这种性质就会出现。
四、小结
在这一次关于有序与无序的探寻之旅中，我们遇到了许多 CP ：形式与规律，真理与悖论，思维与智能……都是容易让人着迷的话题 —— 当然，它们同时也是悖论，是世界在头脑中镜像的「二元」。
秩序生成美，亦或激发神经元对美这个抽象概念的集体涌动。但是秩序的终极，不可能是秩序，而恰恰是无序 —— 如果用禅宗的观点来看，应该是 「无」。
有无相生。只要有肉身硬件这个限制，美与意义也就有了需求，对周遭环境和诗与远方的认识，是探索谜题的动力。有一些谜题，如同悖论般无解，而其中包含的那些撩人的气味，也许就是旅途中最大的奖赏。■
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