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曲线凹凸性(Concave Upward and Downward)

Marine Sedimentology  · 公众号  · 数学  · 2024-12-11 00:00

正文

最近在看一点孔隙水剖面的论文,总是遇到对曲线的描述,其中Concave Upward or Downward,是经常遇到的,可能代表了不同的过程,但什么是上,什么是下呢?看完这篇小文章希望能搞明白!还是汉语比较形象,凹凸!

凹凸性与拐点:

  1. 凹凸性(Concavity)的基本概念
    凹凸性描述函数图像在某一区间的弯曲方向。通过观察函数的二阶导数
    f′′(x),可以判断函数在该区间的凹凸性:

  • 向上凹(Concave Up / Convex):

    f′′(x)>0,函数图像呈“碗状”,即凹面向上。

  • 向下凹(Concave Down):
    当f′′(x)<0,函数图像呈“山状”,即凹面向下。

  • 无凹凸性(Linear / No Concavity):
    f′′(x)=0,图像在区间内是线性的。

  • 视觉化理解

    图示:

    • 向上凹: 图像逐渐变得陡峭。

    • 向下凹: 图像逐渐变得平缓。

    • 向上凹的部分可以想象为“能盛水的区域”。例如,抛物线y=x2(平方) 在整个定义域内是向上凹的。

    • 向下凹的部分则是“无法盛水的区域”。例如,抛物线  y=-x2(平方在整个定义域内是向下凹的。

    • 无凹凸性对应于直线函数,比如y=mx+b

  • 拐点(Point of Inflection)

    • 定义:
      拐点是函数图像凹凸性发生改变的点,即函数从向上凹变为向下凹,或从向下凹变为向上凹的点。

    • 数学条件:
      拐点发生在f′′(x)=0,且二阶导数符号在该点两侧发生变化时。

    • 实例:
      在函数
      y=x3(立方)  中,二阶导数为f''(x) = 6x。当x=0 时,f′′(x)=0,且符号从负变正,因此x=0 是一个拐点。

    Concave Upward and Downward

    Concave upward is when the slope increases:凹

    Concave downward is when the slope decreases:凸

    注:小编数学不是很擅长,如果有错误,敬请指教!