丘成桐谈几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论

来源：公众号（知识分子）

数学家丘成桐

●　●　●

我从事广义相对论研究已经四十多年，参与了整个广义相对论的发展。今天，我想从几何的观点来讲讲广义相对论。

（一）黎曼几何：改变人类的时空观

现代几何学的发展推动我们对于空间的认识。黎曼（Bernhard Riemann）和他的老师高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是现代几何学的先父，而真正的创始人可能是黎曼。

黎曼

黎曼的一生短暂，只在世40年，就英年早逝。他的学术生涯虽然只有短短16年，但是他发表的每一篇文章都开创了整个几何和数学不同方面的领域，尤其是现代几何。1854年，黎曼在《论关于作为几何学基础的假设》的讲师资格论文中开启了现代几何学的概念。黎曼几何这一漂亮的理论变革了人们对古希腊几何学家所引入的空间的认识。可以说如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦（Albert Einstein）将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的，除了高斯的一些工作以及赫尔巴特（Johann Friedrich Herbart）的哲学作品，黎曼可以借鉴的文献很少。

黎曼开创几何最重要的目的是解释物理现象，他认为：几何学定理无法从一般的量纲概念导出，而必须借助那些可以区分空间和其他实体的性质。这些性质只能通过实验发现····· 我们只能研究他们的可能性，判断是否可以将其延拓到可观察范围之外，不可测量的巨大或微小······或者空间所依存的物理现实是一个离散的多样体，或者它的度量关系的基础需要追溯到它的元素的结合力的外部来源······

我们现代的几何学是包括了几何、分析与数学物理的一门综合的科学。这正是黎曼160年前研究几何学时采用的观点。与黎曼同时代的数学家中，最重要的一个人是柯西（Cauchy）。柯西和黎曼都是复分析的奠基人，但黎曼与柯西不同的是，他从几何和微分方程的观点来研究复分析，引进了“黎曼面”的基本概念。这个概念是19世纪和20世纪最重要的概念之一，影响到高能物理的发展。

黎曼还是第一位引入独立于欧氏几何的空间概念的学者。他用坐标来测量长度，面积和曲率等几何量。他希望这些值与坐标的选取无关，这叫做等效原理，是爱因斯坦后来用作推导他的场方程的一个基本假设。爱因斯坦受到黎曼工作的深刻影响。

黎曼还引入了黎曼曲面的抽象概念。他设想所有自然存在的光滑二维曲面都可以描述为黎曼曲面。这个发现很重要，黎曼面被应用到不同的物理范畴中。在过去30年中，物理学家对一种称为超弦的理论极度着迷，根据这一理论，粒子是时空中振动的微小的弦。振动中的弦扫出一张二维曲面。黎曼观察到二维曲面存在一种全纯函数赋予的结构，也即共形几何。这启发了共形场论的诞生。现代粒子物理学家的工作依赖于对这些共形结构的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有应用，比如计算机图形学和地图绘制。

上图为黎曼曲面，下图为共形映射

黎曼以后，庞加莱（Jules Henri Poincaré）推进了几何发展。庞加莱在19世纪后期证明推广了黎曼的单值化定理。这是一个很重要的定理，影响到今天多维空间的发展。

黎曼几何的主要奠基人是三位意大利学者：列维·齐维塔（Levi-Civita,）、克里斯托费尔（Elwin Bruno Christoffel）和路易吉·比安基（Luigi Bianchi）。由于身体不佳，黎曼临终前几年都在意大利过冬疗养，他在意大利的四年影响了一批学者。其中前述三位学者成功发展了黎曼流形的微积分。

列维·齐维塔（左）、克里斯托费尔（中）、路易吉·比安基（右）

（二）数学的美与爱因斯坦方程

1905年，当爱因斯坦在洛伦兹和庞加莱的帮助下发现狭义相对论时，人们认识到三维空间与时间是不可分割的。时空的数学定义由爱因斯坦的老师闵可夫斯基（Hermann Minkowski）给出。他引入一个与黎曼度量类似的新度量，找到一个以罗伦兹群为等距变换群的黎曼空间，用来描述狭义相对论的几何基础。

洛伦兹（左）、闵可夫斯基（右）

闵可夫斯基的发现对于希望统一狭义相对论和牛顿力学的爱因斯坦来说是一个很大的启发。当时，这两个理论是不兼容的。所有的信息不能超光速传递，这是狭义相对论的要求。可是牛顿力学是要求超距作用的，太阳重力场影响地球的转动，是同一个时间，根本不用光速，它就传达到地球来了。前者要求信息低于光速传播，而后者要求超距作用。爱因斯坦对这两个理论矛盾的研究引入了等效原理，提出运动方程由等效原理决定：引力定律不受观测方式或坐标选择的影响。通过思想实验他意识到，描述重力的位势依赖于方向。

爱因斯坦在思索这应该是何种类型的量时，他的数学家朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossman）告诉他，他所需要的数学概念应该是黎曼几何中的某个张量，类似于牛顿力学，重力场运动方程包含位势的二阶导数，这个量也应该与坐标选择无关。

张量的概念产生于19世纪末，由克里斯托费尔(Christoffel Elwin Bruno）提出。随后，爱因斯坦邀请数学家格罗斯曼帮忙。格罗斯曼在全世界最好的图书馆——哥廷根图书馆，发现由19世纪的意大利几何学家里奇（Ricci）引入的里奇张量恰好符合这些特性。里奇张量是黎曼曲率张量的二次缩并得出來的张量。这个发现发表在爱因斯坦和格罗斯曼于1912年和1913年合写的两篇论文中。他们用里奇张量定义空间中物质分布的物质张量。

格罗斯曼（右）、里奇（左）

不过，因为物质张量满足守恒律，而里奇张量本身并不满足守恒律，所以这个方程组不兼容。同时，他们写下的方程组在解释物理现象时，并不成功。虽然方程很漂亮，也满足了很多事情，可是爱因斯坦仍然无法解释水星近日点进动和牛顿方程预言的偏差问题，所以他知道这个方程还是没有成功。

有一到两年的时间，爱因斯坦几乎想放弃等效原理这样基本的看法，企图采取特殊的坐标来解决和观察不和谐的问题。作为一代大师的数学家希尔伯特却不愿意这样做。因为从数学的观点来讲，不能找特殊的坐标系统来解决这个问题。希尔伯特答应他，用数学的美来解决这个问题。

当广义相论论最后成功解释天体现象的时候，有人问爱因斯坦，假如你观测到的现象和你的理论有不同的时候，你会怎么想？爱因斯坦说，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理论。”为什么漂亮呢？因为用了等效原理，同时能够解释天体的问题。爱因斯坦后来多次讲到，数学的美是很重要的，甚至比实践还要重要。

爱因斯坦方程的成功，起源于对称应用在物理学上的巨大威力。等效原理可以说是用对称学来找到物理方程的重要的方法。推导爱因斯坦的场方程的时候，最重要的就是等效原理，等效原理其实就是对称群的利用。

对称群的应用起源于十九世纪数学家伽罗华（Évariste Galois）和索菲斯·李（Marius Sophus Lie），以及二十世纪的女数学家埃米·诺特（Emmy Noether）。艾米·诺特是有史以来最伟大的女数学家。1915年，诺特正在哥廷根，和希尔伯特是同事。她有没有直接影响爱因斯坦的想法不得而知，但是诺特用对称群来研究物理方程的理论影响至今。艾米·诺特可以说是有史以来最伟大的女数学家。

艾米·诺特

所以我们知道，爱因斯坦完成广义相对论的时候，主要想法是对时空有一个哲学的思想，就是尽量满足等效原理，同时要跟牛顿力学是能够推导，能够平行的。通过思想的实验，也通过数学的思维，他能够得出这样的结论。所以他坚持物理最基础的部分必须要通过这个过程：要有思想实验般的思考，同时要有哲学的思想，还有数学的思维。

广义相对论的这个方程，通过一百年的观察，基本上都是正确的。爱因斯坦跟希尔伯特互相竞争，也互相帮忙。1915年，二人相遇。他们之间的讨论激发了两人的灵感并促成了广义相对论中爱因斯坦运动方程的诞生（希尔伯特发现了希尔伯特作用量，可以用来简洁地推导爱因斯坦方程，而爱因斯坦直接创建了这个方程）。数学家希尔伯特甚至比爱因斯坦更早地推导出了这个方程。

爱因斯坦发觉他的方程可以用来解释时空和物质的分布是互相影响的，不像牛顿力学里面认为的时空是固定的，时间和空间是没有关系的。他发觉时空不停在改变。发现这些方程可以用来解释光线偏折。在此过程中，爱因斯坦做出了一个基础性的概念突破：不仅仅物质的存在产生重力从而弯曲时空纤维，而且重力直接来源于时空的曲率。过了不到两年，天文观察证实了这个发现。1918年，爱因斯坦因此一举成名。这是一个划时代的观念上的大突破。

曲率产生重力

爱因斯坦方程有很多不同的解，因为爱因斯坦在构造这个方程的时候，他找到了方程，可是并没有限定这个解的唯一性。这个解有它的边界条件，有它的初始条件，这两个条件爱因斯坦都没有解决。不但不晓得，直到现在过了一百年以后，我们对这个问题还是在辩论。爱因斯坦在1915年发现这个方程，不到一年，当时正研究球形对称星系如何影响重力的史瓦西（Karl Schwarzschild）发现爱因斯坦方程的一组解，这个解是球对称的（史瓦西解可以应用于单一球状行星的天文研究）。

史瓦西

史瓦西解让爱因斯坦得以计算并观察很多引力场的重力是怎么样的。通过这个解，我们可以模拟太阳系：行星的质量远轻于太阳，它们在史瓦西几何里可以被看成是沿着测地线移动的微粒。测地线可以通过计算得到，它们不必是闭合的圆周。例如水星的运行轨道已经被发现是一个具有微小偏差的圆形轨迹，每世纪进动43秒。同时，史瓦西解还有助于推算光线弯曲度。正如爱因斯坦所预测的，太阳产生的重力会改变时空的几何。因此，从行星射向地球的光线在经过太阳附近时会产生弯曲。通过计算史瓦西几何中的零测地线，可以推算光线的弯曲度。计算结果与实验数据的吻合令人满意。这是这一重力的新理论开创初期所取得的重要成就之一。

史瓦西解在今天依然重要，我们做全球定位GPS的时候，仍然要用到这个解。因为地球是一个重力场，我们的光线受到这个重力场的影响，假如不用这个解的话，算出来的结果不对。史瓦西解让我们知道光线通过太阳的引力场时会有偏差，这是很重要的成就。

光线偏差

广义相对论受到黎曼几何发展的重要影响，反过来讲，爱因斯坦所取得的巨大成功深刻影响了黎曼几何的发展。在广义相对论提出之后，几何学家认识到了爱因斯坦度量的美——特别是那些满足真空爱因斯坦方程的度量。

（三）广义相对论反哺数学：规范场理论与卡鲁扎的创意

为了进一步说明，我们应该指出，在爱因斯坦的广义相对理论之后，很多作者试图去理解如何将麦克斯韦的电磁理论与爱因斯坦的重力理论统一起来。这项研究导致了几何学与物理学的一些重要发展。由于麦克斯韦电磁学方程和重力场方程表面上看来并不接近，所以想要将它们统一起来，就要融合对于这两个伟大的理论势必产生的种种不同的建议，其中一个最重要的建议来自赫曼·外尔（Hermann Weyl）。

外尔受到列维·齐维塔（(Levi-Civita ）和嘉当（Joseph Cartan）的影响，成功地将麦克斯韦的电磁理论建立在规范场论基础上。最初，外尔所用的不保持长度的规范群受到爱因斯坦的否定。在他提出基本构想的十年后，受到量子力学中相位理论的影响，外尔构建完成了阿贝尔规范场理论。这在数学和物理中是一项根本性突破。在数学里，我们将规范场论称为几何学中的联络理论，它给出了向量沿着空间中封闭环路移动的规则，这些向量可以通过很广泛的方式来定义。

规范场的理论在数学上其实是相当普遍的理论，可是应用到物理上以后，它变成重要的理论。因为在数学上，从嘉当、霍普夫、惠特尼，他们就推广了规范场的理论，他们提出了所谓的“向量丛”的观念，他们认为基本上，我们给空间中的每一点都赋予一个线性空间。这个附上的空间可以任意扭曲，正是这些扭曲给物理和几何注入了新的观点。向量丛被应用于粒子物理学的量子化，其结果就是杨—米尔斯理论。在这个理论中杨振宁和米尔斯将外尔的理论一般化到更加广泛的丛（从交换的规范群到非交换的规范群），到了以后，整个规范场理论是影响到整个高能物理的重要的结果。

杨振宁和米尔斯

现在，我们知道杨-米尔斯理论决定了自然界中所有基本力的相互作用。有意思的是，这个理论影响到了数学本身的发展，有助于理解四维流形几何拓扑的基本结构，其中就包括宇宙的几何形态。西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）在这方面做了开创性的工作，但四维空间的几何构造还远未被渗透。

广义相对论除了影响赫曼·外尔的规范场的理论以外，还产生了第二个很重要的理论。

当时爱因斯坦的广义相对论是四维空间，爱因斯坦其实很想从四维时空里面推导到电磁场，但是不知道如何做。 1921年，德国数学家和物理学家卡鲁扎（Kaluza）提出了将爱因斯坦广义相对论推广到五维时空的大胆设想。他提出，通过在四维空间的每个点附上一个圆，将爱因斯坦的工作平行推广到五维时空。他根据爱因斯坦的理论来研究相应的五维真空。卡鲁扎发现，在四维空间里有效的理论，在拿走这些圆之后，通常是重力四维空间中的爱因斯坦方程的非真空解。这些圆创造了一种物质，即电磁场。这绝对是一项惊人发现。克莱因随后将这项理论向物理方向进行了更深的发展。爱因斯坦也很欣赏这个理论。但不久之后，人们发现使用这项理论会创造出一种自然界尚未被观察到的超重的标量粒子。随后这项理论就被物理学摒弃了。

尽管如此，在四维的爱因斯坦时空中添加维度的想法很有创意。通过这种方法，当时空是简单乘积，洛伦兹对称的爱因斯坦度量可以约化为额外空间的爱因斯坦度量。虽然放弃了这个理论，但是这个理论很漂亮，所以有很多不停的改进。在四维空间添加维度的想法，一直以来都在发展，这个理论以后发展成现在弦论里的四维空间。

爱因斯坦、洛伦兹合照，1921年

（四）卡拉比－丘流形的诞生

我记得当我还是研究生时，爱因斯坦用时空几何来替代重力的创见很令我着迷：在赤道上两地，两人同时朝北移动，本以为是平行移动的两人，却发现快到北极时，竟然越来越靠近对方，就像两人之间有吸引力。这种吸引力的作用实际上来自于地球的正曲率。反之，若空间曲率为负，例如双曲空间，两人将渐行渐远，感受到排斥力。

我对于寻找空间拓扑结构作用下真空爱因斯坦方程的解很感兴趣。如爱因斯坦所说，这样的空间存在，并且拓扑结构本身能够产生重力。由于重力是由时空的完全曲率张量来表示，我们希望找到这样一个具有非平凡曲率的真空。物质可以仅用时空的部分曲率，即里奇曲率张量来描述。里奇张量在爱因斯坦方程里被用来描述物质的分布。如果里奇张量为零，那这个时空就不存在物质。所以我非常想要找到这样一个里奇曲率为零同时又具有非平凡曲率的时空。

找到这样一个例子是我读研究生时给自己定下的目标。直到有一天，我在图书馆看书时发现一篇意大利几何学家欧亨尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）的论文，发现在我想到这个问题的二十年前，卡拉比就已经在思考完全不同条件下的类似问题了。卡拉比的灵感并不是来自广义相对论。他所感兴趣的问题是复数域的几何。我很兴奋，因为我觉得卡拉比这个问题会帮助我解决刚才广义相对论的问题，找到那个没有物质的真空。

黎曼球面的高维推广、庞加莱度量在高维流形的推广满足爱因斯坦方程。同时，它也表现出某种内在的对称，我们现在称之为超对称。这是一个很奇妙的对称，到现在实验室还没有找到，可是超对称在这四十年来对物理理论有很重要的影响，很多重要的理论都是通过超对称来了解的。

令我惊讶的是，卡拉比的观点给出了一种简单的将完整而复杂的爱因斯坦方程约化为复流形上更简洁的数量方程的方法。这个方程是一个相当复杂的非线性方程，我们称之为蒙日—安培方程（Monge-Ampere equation）。卡拉比猜测这个方程总是可解。在相当长的一段时间里，没有人知道该怎样处理这类非线性方程，无论是在一般空间还是弯曲空间中。连一个例子都没有被发现。因此大部分人不相信卡拉比猜想是正确的，包括当时所有的年轻几何学家，也包括我。

有了超对称的这个观念以后，我看卡拉比先生的问题，和爱因斯坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，这个过程很不容易，因为我需要建立一整套理论基础。这一学科最终被称为几何分析，很多朋友都参与了这一学科的开创。他们是理查德·舍恩（Richard  Schoen）、郑绍远、利昂·西蒙（Leon Simon）、凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）、理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton），以及之后的克里夫·陶布斯（Clifford H Taubes）和西蒙·唐纳森。他们都是一流的学者，还兼研究其他重要的学科。

几何分析学科的建立是过去四十年来几何学中非常重要的发展，我有幸亲身参与了很多发展。尽管如此，在1984年之前，我几乎不知道这些发展能和物理的弦论联系起来。由于舍恩和我在广义相对论上的研究进展，我和物理学家有了相当多的交流。1982年，当时我在普林斯顿高等研究院任教时，加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）成为了我的博士后。我的学生都对我的解有兴趣，但是与之后认识的安迪·斯特罗明格（Andy Strominger）和爱德华·威滕（Edward Witten）一起讨论数学和物理的联系时，我会向他们提到我应用卡拉比猜想构造爱因斯坦度量，他们似乎没有对此表现出什么兴趣。

2002年北京国际弦论会议：前排左起斯特罗明格，格罗斯，丘成桐，霍金，威滕

1984年的一天，我去圣地亚哥与太太团聚。正在欣赏美丽的海景时，我接到了安迪·斯特罗明格和加里·霍洛维茨的电话。他们很兴奋地告诉我，一个被称为弦论的关于量子引力的新理论被发现了。

在这个理论里，粒子表示为时空中微小的振动的弦。为了使这一理论与量子力学相容，这个理论要求时空是十维的。他们提议建立一个十维时空模型——将四维时空乘上一个微小的六维空间。这个六维空间非常微小，以至于肉眼无法观测，而这个十维空间在普通人看来就呈现为四维时空。这个六维空间需要满足爱因斯坦方程，同时他们希望这个时空具有对称性，从而使得量子场论更完美。额外的超对称伴随着一类卡拉比和我研究过的六维流形，而我已经证明了它的存在。我的朋友急切地想要知道这样的流形是否存在，至少在数学上是否正确。当我告诉他们这样的流形确实存在而且很多时，他们着实地感到兴奋。

之后，坎德拉（Candelas），霍洛维茨，斯特罗明格和威滕等四位作者写了一篇革命性的论文。他们将弦论中的六维空间称为卡拉比—丘（Calabi—Yau）流形。这些空间成为过去的三十年中数学和物理研究中非常热门的主题。数学为物理提供了一个非常重要的平台，同时物理的直觉灵感推动数学前进。

卡拉比-丘空间

弦论还远未被证明是正确的还是错误的。另一方面，由弦论所激发的数学却是正确和漂亮的。一些非常重要的数学公开问题就是由于弦论所激发的灵感得以解决。它们可以建立在严格的数学理论上。由此，数学为验证由弦论所激发出的构想是否正确——或至少是否自洽，提供了一种方式。不容置疑的是那些结果在数学上都是正确的。虽然这很振奋人心，但还仍然没有能够证明弦论是统一自然的理论。

二十世纪物理学的两大支柱毫无疑问是量子力学和广义相对论。广义相对论比量子力学的基础来的扎实，比量子力学重要，但在应用上不如量子力学，主要的原因我想是因为广义相对论里面的方程是非线性方程，解这个方程比较困难。

量子力学进展神速，在短时间内，就在实验室里验证出各种重要的现象，对于粒子物理、化学、通信技术，乃至现代工业的一切进展都有奠基性的贡献。这里有几个原因，它有不断的实验的支持，从实验室观察到新的现象，不但可以验证和修订现存的理论，还可以引导物理学家提出新的学说。在观察现象时，它所需要的数学比较简单，它的数学基础是线性分析，而这些基础很多已经由希尔伯特提出的无限维空间的谱分析提供。至于进一步的规范场理论由外尔提出时还是比较线性化，因为初步的规范场论是用可交换群来做规范群。

但是数学家，例如埃利·嘉当（Joseph Cartan）、夏尔·埃雷斯曼（Charles Ehresmann）和陈省身先生，很早就讨论过纤维丛的联络理论。他们没有意识到外尔在物理学上的工作。直到1954年，杨振宁和米尔斯重新发现数学家的理论可以用到粒子物理，并将外尔理论推广到了非交换规范群。但是需要的数学远比线性理论来得复杂，这个复杂性让物理学家在应用规范场论到高能物理上停顿了十多年，因为要将比较非线性的规范场理论量子化是很困难的事情，而没有量子化成功的理论，对解释高能物理的现象没有任何用处。

1970年，年轻的博士生荷兰物理学家杰拉德·特·胡夫特（Gerard 't Hooft）完成了规范场量子化的第一步重要工作，高能物理迅速进入到新纪元，几年后，高能物理的标准模型建立成功。直到今天，它的结论都相当正确，经过实验室证明，它已经融合了宇宙间的三个力场。引力场理论的基础在1915年完成，爱因斯坦写下正确的引力场方程，而希尔伯特写下它的拉格朗日量。引力场在基础的问题上已经得到解决，在这个方向来说，它比量子力学来得结实。但在现代物理中，量子场论发挥了极为重要的贡献，遗憾的是我们还没有能力建立起一个严格的非线性的四维量子场论。

胡夫特

非线性理论的进展比较缓慢，它需要高度困难的数学工具，同时往往会有预测不到的现象的产生。大部分物理学家试图用电子计算机来做计算，这当然是很有帮助的方法，但是在理论还未研究清楚前，除了极为特殊的情况下，我们一筹莫展。天文的观察直到这三十年来才有比较大的进展。这也是引力理论发展缓慢的一个原因。

我认为，21世纪将会是量子力学和引力理论相结合的世纪。我们希望从引力场的观点提供量子力学和粒子物理的新的想法，而引力场量子化将成为这个世纪的重要问题，弦理论是一个相当不错的起点。无论是超对称还是高维空间的想法都需要实验的证明，但是任何证明支持这些观念的现象都会是人类对于宇宙认识的一大步。我们需要大量的物理学家，数学家，工程师参与这个世纪大问题。假如我们中国的科学家能够带动这个研究，我想都会青史留名，不只拿诺贝尔奖那么简单。这是一个很重要的事情，希望我们中国的科学家能够努力。