专栏名称: 好玩的数学

好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。

好书推荐 | 一部简明有趣的数学思想简史：数学语言是如何进化的？

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2020-11-30 06:42

正文

《数学思想简史》

这本简明易读、妙趣横生的数学思想史，以数学概念为中心，勾勒了数学思想的推进与演化，揭示了数学对人类文明进程的影响，呈现了数学的哲学文化意蕴，是一本难得的数学课外读物。

导

读

“尽管儿童需要有人引导才能使用直线、正方形、三角形和其他特定图形的词，但我们认识这种语言的意义的能力是与生俱来的，我们无法想象一个没有图形的世界。

这并不是说，人们可以通过某种隐秘的数学来解释人性，但我们会被真正明显的事实触动，我们的数学传统就源于对明显事实的陈述。”

从古希腊数学家塑造早期数学逻辑，到20世纪图灵在计算概念上的革命工作对现代世界做出的重要贡献；

从石器时代的仪式到代数、微积分、无穷和计算的概念；

数学的语言改变了我们思考这个世界的方式。

数学思想简史：规则与事实

那些运用规则来做出判断的人之于别人，就像有表的人之于别人一样。一个人说：“两个小时以前。”而另一个人说：“明明只有三刻钟。”我看了看自己的表，对前一个人说：“你太疲倦了。”然后对另一个人说：“时间在你那里跑得太快，因为现在已经一个半小时了。”我嘲笑那些说我的时间走得太慢或者说我是凭想象做出判断的人。他们不知道，我是根据我的表做出判断的。

——布莱兹·帕斯卡（1623—1662）

数学这个词来自希腊语，本意是“ 可以教授的知识 ”。当我们从事数学研究的时候，我们获得的有关某一主题的知识与我们对该主题的陈述之间有非常特别的密切联系。我认为这一点非常重要，路德维希·维特根斯坦的著作《哲学研究》（ Philosophical Investigations ）中有一个深刻的比较对象的主题，我们可以考虑一下“ 知道珠穆朗玛峰的高度 ”与“ 知道大提琴的音色 ”之间的差别。如果你知道珠穆朗玛峰的高度却不能告诉别人，人们不会承认你具有这方面的知识。另一方面， 如果有人请求一位大师级的大提琴演奏家证明他“知道”他的乐器的声音是什么样子，他可能会不知所措。

我们与现实接触所获得的经验教训，有些是无法被简单地总结然后再传达给别人的。 人类知识并不都是以事实的形式出现在我们面前的！ 另一方面，对科学知识的追求本质上是一种公众事业，因为 科学家的工作主要就在于把通过研究各种对象而获得的知识清楚地表达出来。 用物理学家尼尔斯·玻尔的话来说：“认为物理学的任务是找出自然是什么样子的，这是错误的。物理学涉及我们如何讲述自然。”我认为，正是因为我们必须要清楚地阐明自己的理解，并与人分享，经验科学才逐步变得数学化。换句话说，即使没有我们的存在，自然仍旧存在，但在我们创造语言之前，事实是不存在的。毕竟，如果没有一种表达事实的语言，我们就不可能得到事实！

数学语言是人类探险征程的一个主要部分，数学的历史则告诉我们数学语言得以发展的背后的文化。另一方面，与其他文化产物相比， 数学的世界不可思议地超越了时间，你不需要了解古希腊人的生活也能够理解欧几里得几何。 数学事实很容易就从一个文明传播到另一个文明，因为数学事实的根源在于我们的认知能力，似乎属于每一种世界。的确，数学事实本身无法告诉我们，我们究竟生活在哪段历史中。无论过去和今天的情况如何，一旦我们意识到可以使用数学语言思考，就无法想象一个不能用这种方式思考的世界！例如，我或许明显可能受到周围世界的欺骗，但是一旦我学会了计数，就无法想象自己是一个无法计数的现实的一部分。

正如本章开头那段引文所指出的，认识到数学家、科学家和工程师通过运用规则来追求目标这一点很重要。……

简而言之， 数学并不是一种自然现象，但当我们学习和研究数学的时候，它看上去似乎是种自然现象。 例如，如果我学会了数数，明白2+2=4，我可能就会坚持认为，这不仅对我或像我那样数数的人而言是真实的，它是宇宙本身的一项真理。这种说法显然是有道理的。两块石头加上两块石头确实是四块石头，希望情况并非如此并不会影响这个事实。 不过，在做出这个论断的时候，我并不否认，数学是我们创造出来的一种事物。 毕竟，是我们把这些石头看成一组对象的，关于事实的陈述与事物的物理状态并不是一回事。换句话说，尽管我们对身处其中的这个世界的阐释忠实于它的现实状况，但我们关于世界如何运转的观点并不能陈述自身。

我认为， 数学真理是通过在规则的规定下使用符号形成的 ，如果我们或者我们的前辈没有确定清楚的规则或者原理，数学真理就不可能存在。 另一方面， 数学又绝不仅仅是按照一套既定规定重新排列符号 ，因为一旦我们有了一个基于规则的可有效利用的系统，就可以透过这种语言提供的逻辑透镜来观察世界。而且，一旦某人使用一个词或者概念，这个词或者概念就需要有真正的含义。人们对符号体系的使用或许暗示了某种数学实在性，这种数学实在性由两个部分组成：一个是实际存在的人类所使用的实在的、有意义的 历史概念和符号 ，另一个是与历史无关的永恒的 符号事实 （理论上可以被任何适当的程序计算机证明）。

如果我们承认，我们不可能找到我们理解和使用的有意义的数学，与自洽且合法但尚未被发现的可计算的符号系统之间的界限，则数学真理的这种双重形象便具有许多值得推荐之处。毕竟，当某人在谈论一个可计算的系统的时候，这个系统实际上就已经被使用了。正如维特根斯坦所说：“人们有一种感觉，即数学中不存在现实性和可能性，一切都在一个层次上，而且实际上，一切在某种意义上都是真实的。这一点是正确的。 因为数学是一种演算，演算不会涉及任何仅仅是可能存在的符号，一种演算只涉及它实际操作时使用的符号。”

计算和数学论证可以用来理解世界，这使数学具有深刻的意义。另一方面，数学事实并不依赖于事件的物理状态，因为 数学语言处理的是普遍性，我们不应该通过援引特例或者历史事件去理解它。 科学家对经验世界做出论断，而完全不同的理论可以运用于同一种现象。由此，科学家必须接受，新的证据或者新的研究方法可能会证明他们的理论是错误的。数学家经常有一些预感后来被证明是错误的，但他们所证明的结果有一种科学缺少的确定性，因为数学真理在某个给定系统内永远是真理。我们可能会说，我们的语言让我们能用一种特殊的数学视角观察世界，无论周围的环境如何变化，我们都可以让我们的逻辑透镜保持不变。

或许最重要的事情是，数学家是以演绎的方式来表达他们所研究的概念的。这一基本原则限制并造就了数学事实的整体，但 除了一座演绎之塔外，数学还有其他东西。 简言之，数学家研究可描述的概念体系。这一点对于其他理论家来说或许也成立，但 数学的逻辑结构是不同的 ，因为其关注的重点是我们做出的 确定命题 和实践中（如计数）使用的 符号形式 。数学家可以随意对实际对象计数，但与其他理论形式不同的是，数 学术语并不需要指代任何外部对象。 所以我可以得出结论，数学的客观实在并不是大脑的活动，也不是数学形式的某种奇妙领域。正如本章开篇所说的帕斯卡的手表那样，重要的是一个 数学家“使用的命题” 。

尽管很少有人专注于 纯数学 ，但我认为，我们天生就有理解这种真理的能力，这是人之为人的重要因素。这一点适用于每个人，而不仅仅是一些经过良好训练的专家。例如，尽管儿童需要有人引导才能使用直线、正方形、三角形和其他特定图形的词，但我们认识这种语言的意义的能力是与生俱来的，我们无法想象一个没有图形的世界。这并不是说，人们可以通过某种隐秘的数学来解释人性，但我们会被真正明显的事实触动，我们的数学传统就源于对明显事实的陈述。我还要说， 当某人努力掌握了数学语言之后，他就会认识到这样一个事实，即作为理性的存在，我们能够体验真理。 这是人类本性的一个基本事实，它与我们对语言的使用不可分割。

……

本文摘选自《数学思想简史》，内容有删节

《数学思想简史》

[英]卢克·希顿/著李永学/译

华东师范大学出版社

978-7-5675-8829-5

2020年1月

点击封面图立即购买

↓↓↓

内容简介

本书是一部简洁易懂、兼顾历史叙述与主题讨论的 数学思想指南 。作者从数学语言和概念演变的角度入手，生动地阐述了古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德如何塑造了早期数学逻辑，斐波那契数列、代数的兴起及微积分的发明之间的牵连，以及20世纪图灵在计算概念上的革命工作对现代世界做出的重要贡献。从石器时代的仪式到代数、微积分、无穷和计算的概念，数学语言的每一次演变，都促进了新技术的发展，影响了人类对世界的理解和探索。 本书不仅回溯了数学实践的迷人历史，还展现了数学在人类理解世界的过程中扮演的重要角色。

作者简介

卢克·希顿（Luke Heaton） ，以“数学学科一等荣誉学士”学位毕业于爱丁堡大学，之后获得牛津大学数学与计算机逻辑基础硕士学位、数学生物学博士学位。现担任牛津大学植物科学系助理研究员，研究兴趣主要是数学史与数学哲学、生物现象的数学建模等。

向上滑动阅览

导言

第一章　开端

1.1　语言与目的

1.2　人类认知与数学的含义

1.3　石器时代的仪式与自行产生的符号

1.4　创造清晰的模式

1.5　事实的存储

1.6　巴比伦、埃及和希腊

1.7　圆的逻辑

1.8　数学的真实性

第二章　从希腊到罗马

2.1　早期希腊数学

2.2　毕达哥拉斯科学

2.3　柏拉图与对称形式

2.4　欧几里得几何

2.5　欧几里得算法

2.6　阿基米德

2.7　罗马时期的亚历山大港

第三章　比率与比例

3.1　测量与计数

3.2　归谬法

3.3　欧多克索斯、戴德金与分析的诞生

3.4　循环小数与戴德金分割

3.5　连分数

3.6　二次方程式与黄金分割比率

3.7　无理性的结构

3.8　斐波那契数列

第 四章　代数的兴起

4.1　零与数位制

4.2　花拉子密与方程式的科学

4.3　代数与中世纪的欧洲

4.4　费马小定理

4.5　如何制造数学挂锁

第五章　力学与微积分

5.1　分析学的起源

5.2　测量世界

5.3　时钟的时代

5.4　笛卡尔坐标

5.5　线性序与数轴

5.6　艾萨克·牛顿

5.7　微积分基本定理

5.8　从代数到变化率

第六章　莱昂哈德·欧拉与哥尼斯堡的桥

6.1　莱昂哈德·欧拉

6.2　哥尼斯堡的桥

6.3　如何画出一个网络

6.4　柏拉图立体再研究

6.5　庞加莱与拓扑学的诞生

第七章　欧几里得第五公设与重新发明几何

7.1　测量与方向

7.2　非欧几里得几何

7.3　空间曲率

7.4　几何的统一与多样性

7.5　对称与群

7.6　古怪的左与右

7.7　莫比乌斯带

第八章　与无穷打交道

8.1　布莱兹·帕斯卡与数学中的无穷

8.2　循环论证

8.3　数学上的无穷大

8.4　康托尔的对

8.5　对角线方法

第九章　逻辑形式的结构

9.1　形式逻辑——“且”“或”“非”

9.2　经典逻辑与排中律

好书推荐 | 一部简明有趣的数学思想简史：数学语言是如何进化的？

正文

请到「今天看啥」查看全文