观察 | 乱 · 三次数学危机及其出路对法学界的启示

你们法律圈现在居然还像我们数学界两千年前一样乱。

数学圈乱了三次，每次都发现了以前笃信的真理有破绽，每次都推动了数学的进步，每次又产生了新的问题。

在两千年前，毕达哥斯拉学派宣称，万物皆有理数，可是他的学生发现了无理数根号2，而该学派既不能否定根号2的存在，也不愿意接受根号2的存在，于是就把这个学生给沉水淹死了。

牛顿他们弄出了极限理论，于是关于无穷小量是不是零的问题又产生了危机，无穷小量被人当成“数的鬼魂”加以嘲讽。这次危机的产生，不过是因为对于极限的概念太过随意而不加以明确罢了。也就是说，第二次数学危机，是因为极限自身缺乏逻辑产生的。

集合论的出现，让人们自信满满的认为集合论将成为整个数学的基础。而从朴素集合论到公理集合论的演化过程中，所谓的罗素悖论产生了第三次危机。人们才意识到，集合论不加以限制，一样是行不通的。第三次，是因为对集合本身不加以限制，任意的创造集合产生的，出现了既属于集合的元素又不属于集合的元素这种集合。

然后，人们在数学的逻辑性上走得越来越远远，试图把数学符号化，在符号化的基础上进行公理化。所有的问题只需要通过有限步骤的形式化推演即可证明。

简而言之，第一次危机，太过绝对，第二次，第三次太过任意，然后，在形式化上走得越来越远，哥德尔出来喷了一把。

于是，最经济的做法，就是干脆承认不完备，把那些伟人的宏伟愿望比如希尔伯特的宏伟计划，通通去掉。

其实，欧几里得几何学是完备的，实数公理也是完备的，因为这些公理体系，本身暗含着外部证明，比如什么是点，什么是线，一概不加定义，只需直观理解而已啊。但是，希尔伯特这帮人，非要把点线面这些东西定义为集合的元素，一旦定义，就会导致哥德尔提出的不完备发生。而欧几里得几何，证明时，一般允许作辅助图（直观理解），但是希尔伯特他们完全是符号推演，于是，他们的系统出现了自身系统内既无法证真也无法证伪的问题。

▲ 还记得，那些年你做的几何“辅助线”吗

综上所述，你们法律圈，能不能学一下数学界关于危机的处理方法？有些系统，不能在自身内证明其完备性——这是哥德尔不完备定理的精要。数学危机怎么产生的？又怎么解决的？本质的原因就在于绝对化与任意化两种极端的表述产生危机。

你们法律圈，能不能想一想，法律概念固然需要明确，法律体系固然需要具备逻辑，但是，概念也好，逻辑也罢，不能摆脱生活本身，把法律当成符号推演。

 破 执祛魅，避免极端，才是正道。