本文主要介绍了单目稠密重建中的三角化恢复深度信息。内容分为几个专题：三角化的提出、三角化公式、求解深度的另外两种方法以及单目稠密重建的流程。附带有详细的公式推导和代码示例。
三角化最早由高斯提出，并应用于测量学中。通过在不同的位置观测同一个三维点，利用三角关系恢复出三维点的深度信息。
根据对极几何中的定义，通过特征点的归一化坐标，可以推导出三角化公式。公式涉及一元二次线性方程组的求解，可以利用Cramer's法则进行求解。
除了利用三角化公式求解外，还介绍了另外两种求解深度的方法：利用叉乘进行消元求解和利用Mid Point Method进行求解。
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为了详细了解单目稠密重建的细节，我们将会分几个专题来探讨深度滤波器的一系列内容。
1.三角化
2.三角化深度值的误差分析
3.深度滤波器的原理及实现
4.单目稠密重建的流程
本系列内容主要参考高翔《视觉SLAM十四讲》，这里加上自己的理解，做一个总结。
本篇博客我们来聊一聊三角化恢复深度信息。
目录：
(1)三角化的提出
(2)三角化公式
(3)求解深度的另外两种方法
附录
(1)三角化的提出
三角化最早由高斯提出，并应用于测量学中。简单来讲就是：在不同的位置观测同一个三维点P(x, y, z)，已知在不同位置处观察到的三维点的二维投影点X
1
(x
1
, y
1
), X
2
(x
2
, y
2
)
，
利用三角关系，恢复出三维点的深度信息z。
(2)三角化公式
按照对极几何中的定义，设x
1
, x
2
为两个特征点的归一化坐标，则它们满足：
s
1
x
1
= s
2
Rx
2
+ t 公式(1)
=>
s
1
x
1
- s
2
Rx
2
= t 公式(2)
对公式(2)左右两侧分别乘以x
1
T
，得：
s
1
x
1
T
x
1
- s
2
x
1
T
Rx
2
= x
1
T
t 公式(3)
对公式(2)左右两侧分别乘以(Rx
2
)
T
，得：
s
1
(Rx
2
)
T
x
1
- s
2
(Rx
2
)
T
Rx
2
= (Rx
2
)
T
t 公式(4)
由公式(3)和公式(4)可以联立得到一个一元二次线性方程组，然后可以利用Cramer's法则（参见线性代数书）进行求解。
如下是对应的代码（如果大家感觉不易读懂，可以先跳过这段代码，等看完理论部分再返回来看不迟）
(3)求解深度的另外两种方法
a.利用叉乘进行消元进行求解
由
s
1
x
1
= s
2
Rx
2
+ t 公式(1)
左右两边同时乘以x
1
的反对称矩阵，可得：
s
1
x
1
^
x
1
= 0 = s
2
x
1
^
Rx
2
+ x
1
^
t 公式(2)
由上式可解得s
2
，
将s
2
代入公式(1)，可求得s
1
b.利用Mid Point Method进行求解(Hartley大名鼎鼎的《Multiple View Geometry》中有讲解)
从此图中我们可以知道，理想情况下O
1
P和O
2
P会相交于空间中的一点，但是由于图像分辨率以及噪声的存在，实际的情况更可能是上图所描述的那样：O
1
P和O
2
P在空间中没有交点，这时我们需要找到一个O
1
P与O
2
P之间的公垂线，然后取其上的中点作为我们重建出的三维点，此即为Mid Point Method，具体的推导及公式请参看Hartley的《Multiple View Geometry》。
好了，今天的三角化深度信息我们就讲解到这里，下次课我们接着讨论三角化深度信息中的误差分析。
附录：
1.Cramer's 法则：
如果A的行列式不为0， Ax=b可以通过如下行列式进行求解：
