为了寻找数学中最重要的数字之一，数学家开发了一种新算法

撰文｜马克斯·斯普林格（Max Springer）

翻译｜陶兆巍

几个世纪以来，素数因其不可预测性和看似随机的分布，一直吸引着数学家的关注。在最近一项发布于预印本文库的突破性研究中，数学家建立了一种全新的方法，能帮助我们寻找这些“隐秘”的数值，同时也揭示了我们搜索素数能力的上限。

素数只能被1和自己整除。我们能把任意一个正整数用唯一的方法分解成素数的乘积（比如12=2×2×3）。随着数字增大，确定一个正整数是否是素数变得越来越困难。如果有人问：“有多少个小于1000的素数？”你该怎么解决这个问题？

古希腊人发明的“埃拉托色尼筛法”（Sieve of Eratosthenes）可用于求解这个问题： 首先写下所有（小于1000的）正整数，然后逐个删除所有素数的倍数，筛除掉大部分数后，剩下来的就是所有的素数。 数学家将这些被筛除的倍数称为“第一类信息”，这类信息能帮助我们预测给定区间内素数的个数，但它能提供的信息量有限。 美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家凯文·福特（Kevin Ford，这项研究的共同作者）解释道：“有时，你可能拥有想象中最好的第一类信息，却依然找不到任何素数。”

但在这篇新论文中，福特和英国牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）提出了一种强大的方法，可以精确地估计大区间内至少存在多少个素数。这项工作结合了两种互补的研究视角，包括上文介绍的第一类信息，以及所谓的第二类信息，即一个数被删除多次的情况（比如6同时出现在2和3的删除序列中）。

通过调节两类信息的权重，数学家可以尽可能精确地估计给定区间内素数的个数。但在调整这两个参数时，他们发现其中存在某种根本性的上限：存在一组最优的参数， 无论如何调整，都无法进一步提升估计素数个数的精确度 。这揭示了素数如何在数轴上分布的深刻事实。

这项工作将这种估计某个集合的精确度，或者说“信息强度”，比作调整筛子的网眼大小。如果网眼太小，你会剩下所有的正整数；太大则会导致一些素数溜走。芬兰图尔库大学的数学家凯萨·马托迈基（Kaisa Matomäki）解释道，这项工作“ 精确且直接地回答了哪些信息对于搜索素数‘足够重要’ ”。当我们设计一个素数筛时，理解其能力上限对于发展一套完备的素数理论至关重要。

福特希望这种方法能帮助数学家攻克一些长期存在的未解难题：“素数的分布方式非常、非常神秘，我们正努力加深对它们的理解，哪怕只是一小步。”

本文选自《环球科学》2025年02月刊“前沿”栏目。

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