【香樟推文0928】钱医：信任是一种扭曲

这篇文章的题目很有意思，叫money doctors，翻译成中文就是钱医，医生这个职业，有个特点，就是他懂的你基本上不懂，他说什么你都只能点头，所以你去看病，最好是找信得过的医生，要不对方有100种办法玩死你。钱医指的就是金钱管理者，包括共同基金、投资顾问、经纪人、FOF、银行信托等等，它们的共同特点就是用你的钱去帮你投资，一般来说，它干什么你不容易监督，所以信任很重要，事实上，把钱交给不可靠的私募投资，真不如把钱扔进水里，好歹还能听个声响。

那我为什么说信任是一种扭曲呢？因为绝大多数研究都发现看上去神秘莫测法力无边的基金经理其实很难跑得赢市场指数，就算他们是免费帮你投资，也基本上跑不赢，大概落后六七十个基点，更何况人家要收基金管理费的，把这个扣掉就更干不过了，大概要比市场指数差个2%。由此可见，假如投资者脑子不进水，他真没必要去找所谓的钱医，但他们还是找了，为什么呢？基于信任。这里的信任可以分成两种，第一种是信任对方一定不会携款逃跑；美国监管严格，携款逃跑的情况不太容易发生。更重要的是第二种原因，因为这些钱医能降低你对投资风险的恐惧，比如你想投资一些有风险的标的又不敢，因为你缺乏知识，就像病人对自己的病情不了解一样。这时候基金经理来了，名校毕业、CFA三级、脑袋又大又圆、经验丰富，说话滔滔不绝很有逻辑充满自信，于是你交给他投，你相信他一定搞的定。假如这个基金经理碰巧还跟你私交甚笃，你就更不担心了。所以信任的扭曲就在于投资者会因为信任选择专业人员为其投资理财，而事后看这些专业人士其实表现也就那么回事。值得注意的是，这里的信任带有某种盲目性，如果你真信任对方，你并不会因为他帮你投资没有跑赢市场会生气或选择退出，依然愿意交给对方高额的管理费，真是XX虐我千百遍，我待XX如初恋啊。

文中总共有三个模型，第一个是基准模型，另外两个则放松了基准模型的一些假设。基准模型中的钱医收取管理费代投资者进行风险投资，他们会投资分散化投资组合譬如S&P500，而投资者对投资回报的预测是符合理性预期的；模型2假设钱医并不是把所有钱都放在一个充分分散化的组合当中，而是提供一系列风格各异且没有充分分散化的资产组合让投资者自己挑选。模型3假设投资者对投资收益没有理性预期。三个模型都求出了均衡时的管理费和管理规模。我们一个个看。

作者考虑存在大量的投资者，他们投资两种资产，一种是无风险资产，一种是有风险资产，其中风险资产的投资比重是，无风险资产的回报是，风险资产的期望回报是。投资者自己只能投资无风险资产，他要想投资风险资产，必须借助于金融中介。作者假设市场上存在两个基金经理A和B， 投资者要投资风险资产，就要在两个基金经理当中选一个（但不能都选），选择的标准是谁给投资者带来的效用高就选谁。这是一个两期模型，下图是时间轴：

第0期，每个基金经理设定管理费，而每个投资者选择自己的基金经理以及把多少比例的财富交给他进行风险投资；第1期，投资者获得投资收益。

投资者的效用函数是均值方差形式，表示为，这里的指投资者，则是基金经理，要么等于要么等于。和标准的均值方差模型不同，这里多了个参数，这个参数用来衡量钱医对投资者风险厌恶的影响，数值越大说明投资者越不信任对方。如果投资者自己投资风险资产，那么这个参数将取无穷大。

文章假设一半投资者更信任基金经理，一半更信任基金经理。如果选择了他最信任的基金经理，那么他对对方的怀疑等于常数，但如果选择了他不太信任的那个基金经理，那么怀疑就会增加，表示成，。 这里要注意一下，投资者选择什么样的基金经理是由效用大小决定的，我们不能断言他一定会选择最信任的那个经理，世界充满无奈，谁又能自由自在。作者假设是随机变量，服从的均匀分布，，取0的时候表明该投资者对于选择哪个基金经理无差异。由此可见，相对信任是一个随机变量，但一旦抽完就永远不会变化。哪怕你次次帮他亏钱，他信任你还是信任你。哪怕你次次帮他赚钱，他也不会因此增加一公分对你的信任。这个假设看起来很强，其实也有道理，投资这种事谋事在人成事在天，风来了什么都能飞，退潮了大家都在裸泳，所以基金经理的投资业绩好坏并不完全由其掌控。

采用逆向归纳法，先在给定管理费之后求解投资者效用最大化，投资者的效用函数表示为：，这里的是管理费率，不同基金经理的费率不同，但同一个基金经理对所有客户一视同仁。由于投资的是S&P500，所以该投资组合的期望超额回报都是，标准差都是。区别在于不同 （信任不同），也导致投资在风险资产上的份额各个不同。求最优化解出，然后代回去，这样就得到选择基金经理和各自的费用，然后比较哪个大，发现当时，会选择 。

然后求解基金经理利润最大化从而确定费率。的利润表示为，等于费率乘以管理的风险资产金额。这里其他都是现成的，麻烦就麻烦在要确定积分区域，也即多少人选择了基金经理。文中分和两种情况分别算出了管理的资产规模以及相应的利润。我们可以用同样的办法算出管理的资产规模和利润。 有了两个基金经理的利润函数之后，这就变成了一个双头垄断伯川德问题，求解纳什均衡可以了。事实上，这个博弈存在一个唯一的对称纳什均衡。

于是我们得到定理1

这个定理告诉我们，在均衡时两个基金经理会平分市场，每个投资者都会选择自己最信任的基金经理。设定的管理费率是从超额期望回报中抽取了一个固定比例。除此之外，管理费随增加而增加，这个参数衡量了相对信任的离散程度（dispersion），离散程度越高，管理费越高。

既然要交管理费，投资者为什么还愿意选择这些钱医呢？理由非常简单，因为投资者自己无法投资有风险资产，只有通过中介才能进行。而投资者的效用是依赖于风险厌恶程度的，降低了风险厌恶，哪怕没有提高盈利，也可能会提高投资者的期望效用。下面的推论表明：在作者设定的环境下，均衡时钱医的存在确实改善了投资者的福利。

这是对基准模型的简单扩展，不再假设两个基金经理都帮你投资S&P500，而是假设有两种风险资产类可供投资，它们的超额期望回报为，风险为，回报和风险正相关，这时候容易得到：在资产1的最优投资会是在资产2上投资的倍。因为我们考虑的都是对称均衡，均衡结果跟之前差不多。，只不过要把之前的改成。

我觉得这是这篇文章最好玩的部分。它假设投资者会追逐热点，因而系统性高估某类资产的回报，而基金经理则洞若观火，完全清楚每种资产的期望回报是多少。但是第一、基金经理不一定愿意把自己的精准判断告诉雇主；第二、就算他说了，雇主也未必肯听。基金经理唯一能够掌控的只剩管理费了，他当然可以通过对不同资产设定不同的管理费来修正雇主的错误预期。可是，他干嘛要这么做呢？毕竟，他追求的是利润最大化对不对。毕竟，他无论做什么都不会影响雇主对他的信任对不对。

作者又区分了两种情况，第一种情形，和之前一样，模型只有两期，这时候基金经理毫无疑问是短视的；第二种情形则假设模型有三期，投资者会根据基金经理之前的业绩来调整对他能力的认知。

第一种情形的结论非常简单，基金经理将会迎合投资者的错误预期，对投资者（错误）看好的资产设定较高的费率，对投资者（错误）看淡的资产会设定较低的费率，但这两个费率的差距并不会大到足以激励投资者进行正确的资金配置，投资者会在热门资产上投资过多的资金。这就解释了共同基金有时表现很差却收很高的管理费，而且表现越差管理费越高的现象。

第二种情形则比较复杂，它假设有两代投资者，第二代投资者会根据第一代投资的业绩来评估基金经理的能力（但不改变信任！），从而影响基金经理能吸引多少客户。时间轴如下图所示

这时候基金经理就面临一个权衡，一方面当期利润最大化要求他顺从雇主的错误理念，这意味着他要去多投资被高估的资产，而少投资被低估的资产，但这会导致他的投资业绩不好看，这就会影响明天的生意。很容易看出，贴现因子是个重要的影响因素，基金经理越耐心，就越不会顺着雇主的心意乱来。但不太容易看出来的是信任同样会影响均衡结果，文章证明，当投资者对两个基金经理的信任无差异时，不存在两个基金经理都迎合投资者的均衡。而如果对基金经理的信任存在差异，有一些人特别信任，有一些人特别信任，这时候就可以证明，在时，投资者极不愿意离开现在的基金经理，在满足一系列其他条件的情况下，有可能出现两个基金经理都迎合雇主的均衡（除了这种极端情形外的情况无法证明）。

文章中的模型古里古怪，文章里的投资者都蠢得发呆，但我觉得它是有深度的，我们搞经济学，往往会忽视经济内嵌于社会之中，信任是人际交往上不可避免的东西，而人的非理性同样也存在，当文化因素和认知因素二者纠结在一起，竞争性均衡的很多好的性质就不一定满足，而一些看上去很奇怪的现象也就没那么难解释了。事实上，在另一篇文章里，作者把这个模型和索洛增长模型结合起来，试图解释金融危机，可以读一读。