牛顿定律取得了很大的成功,它具有完全确定的规律性。但它和拉普拉斯的确定论究竟是什么关系?这值得探讨。
另一个值得一提的,是所谓的三体问题。一体问题最简单,一个物体在固定的中心力场中运动。两体问题也不复杂,就是两个互相吸引的物体的运动问题,结果是两个物体都绕质心运动,大质量物体的轨道小一些,小质量物体的轨道大一些。如果再加一个物体,即三个物体之间存在着吸引力,它们的运动规律就是天体力学上很有名的三体问题。天体力学上的轨道计算就涉及到三体问题,这通常是通过微扰论来解决,即把第三个物体的影响当作微扰来处理。譬如,地球与太阳是两体问题,加上月亮就构成了三体问题。月亮对地球轨道也有影响,但这个影响很小,这就可以用微扰的方法来处理。当三个物体都不能当作微扰来对待时,就是三体问题了。
在19世纪,三体问题是天体力学的一个非常引人注目的问题。为解决太阳系的稳定性问题,当时的挪威国王曾设立一笔奖金。这笔奖金最后颁给了法国著名的数学家庞加莱。庞加莱证明了三体问题是不可解的,或更确切地说是不可积分的。有解的运动方程,其位置与时间的关系最终总可以表达为一个积分,在最理想的情况下,这个积分是积得出来的,即使积不出来也至少能表达为定积分。这就是物理学常见的可积问题。
在大学物理课程中讲授的几乎都限于可积问题,诸如行星的运动和单摆系统中摆的运动等。这类可积问题的规律是确定的,计算出的轨道也是确定无疑的,知道了初条件,以后的所有情况都能一一推出来。
如果问题不是可积的,像庞加莱证明的三体问题,情况就完全不同了,就会出现所谓对初始条件的敏感性。如果是可积问题,初始条件作微量调整,最终轨道也只要作微量修正就行了;如果是不可积问题,初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样。中国有句古话——差之毫厘,失之千里,说的就是存在一些对初始条件敏感的情况。
通过对三体问题的研究,人们发现,有些运动对初始条件极其敏感。20世纪如果说经典力学有所发展的话,其中一个是在四五十年代发展的KAM理论。在可积与不可积之间,存在一个近可积区域,KAM理论是讲这种近可积区域里运动规律是怎样的。KAM理论是由前苏联科学家科尔莫戈罗夫(A.N.Kolmogorov)、阿诺尔德(V.I.Arnold)和瑞士科学家莫泽(J.K.Moser)三人证明的。
20世纪力学的另一个发展,就是70年代出现的混沌理论,这说明不可积系统中粒子轨道是不确定的。也就是说,牛顿定律本身虽是确定性的,但它所描述的具体事物,很可能出现随机行为。这样一来,拉普拉斯的确定论就站不住脚了。人们对初始条件的控制能力是有限的,不可能无限地精确下去,因此初始条件的微量变化,就有可能会造成运动轨迹完全不可预测。这表明经典力学具有非常丰富的内容,有些尚待进一步探索。