月亮的“在轨寿命”有多久？ | No.43

哇，这位同学，你是不是自己想出来的？的确可以这么考虑。相对论中一切质点的四维速度的模均为光速c，不论其质量是否为零。不过四维矢量模值求法和一般的欧氏空间中矢量的模值求法不同，和度规张量有关，不能简单地用平行四边形法则。

这里有一个与之相关的内容，如果我们建立一个（x，y，z，ict）的四维空间，我们可以发现，其实洛伦兹变换就是（x，ict）平面上的转角公式。

当物体在空气中运动时，它实际上会挤压在其前方的空气，形成所谓的激波。激波以声速在空气内传播，当物体的运动速度超过声速时，这部分被压缩的空气就会在物体运动前方堆积，产生极大的阻力。至于音爆，这是由于物体运动时产生激波的波前会分布在一个圆锥面上，称为马赫锥，在这个锥面上空气的压强、密度等参数都会有很大变化，当激波面穿过人耳时，耳朵的鼓膜会感受到这种压强的变化，因而会听到巨大的轰鸣声。事实上，在介质中，带电粒子的速度超过介质中光速，也会产生类似的现象，这就是切连科夫辐射。

题主所问的问题如果在2500多年前，我们牛B的毕达哥拉斯同学都要给跪了！没错，就是发现勾股定理的那个神人。当然神人也会犯错误。从几何直观上讲，这个斜边必然是一个确定的值，但是没办法用有限小数或循环小数表示。毕达哥拉斯认为，凡是数都可以表示成两个整数的比（有理数，rational number，说到这个英文很多同学认为“有理”和有道理有关系，其实这个词的词根是ratio，意为可比的），也就可以表示为有限或循环小数。那么问题来了，边长为1的正方形对角线的长度是多少呢？毕同学没有答案，是他的弟子希帕索斯发现这个数并不能表示成两个整数之比，后来这种数被称为无理数，由此拉开了第一次数学危机的序幕。这个发现让毕达哥拉斯学派十分紧张，他们开除了毕达哥拉斯，并且对这个问题置之不理。后来希帕索斯在流亡的一艘船上遇到了毕氏学派的门徒，他就这样被当成异端被丢到了海里。

那么我们来看一下为什么题主问题中的斜边不是一个有理数，假设它能表示成两个整数的比，即p/q，p、q互质，否则可约分而达到互质。由勾股定理可知，（p/q）^2=5即p^2=5q^2；可知p中必含有因子5，否则p^2中不可能含有因子5；可设p=5n，则q^2=5n^2；可知q含有因子5，而这和p、q互质矛盾，所以斜边不是有理数。虽然其不是一个有理数，但是这不意味着它不是一个确定的值。

无理数的公理化定义在1872年由戴德金完成，他通过对有理数域的分割，由分割点对两个集合造成的影响而定义无理数和有理数，也就是著名的“戴德金分割”。至此，第一次数学危机才算是圆满解决。关于戴德金分割就不展开说了，有兴趣的同学可以看看这本书《数学悖论与三次数学危机》。

要确定一个天体的位置，我们需要了解它相对于我们的方位和距离。描述方位有很多方法，常见的比如赤道坐标系，想象有一个包围地球的天球，然后把天体投影到球面上，用类似于地球上的经、纬度的概念给出天体在球面上的坐标。对于距离的测量，很古老传统的方法是三角视差法，地球在绕太阳公转时，待测天体在天球上的位置在半年内会有一个角度变化，如果我们另外知道了地球的公转半径，就可以利用简单的几何关系测出天体的距离。对于更遥远的天体，可以利用超新星测距。对于一类Ia型超新星，它的光度是恒定的，所以可以被用作标准烛光，利用观测到的亮度就可以换算出离我们的距离，所以它可以作为宇宙中距离的参照物。2011年诺贝尔物理学奖就是授予了利用超新星测距发现宇宙加速膨胀三位科学家。当然还有很多其他的测距方法，这里就不再一一叙述了。

新的星星也就是指新的恒星吧。星际空间中充满了星际介质，而且星际介质的分布很不均匀，就如银河系来说，大约一半的星际介质集中在2%的星际空间，这些相对致密的区域称为星际云。在星际云的最致密的核心区，分子可以存活，这些暗云被称为分子云，新的恒星就起源于此。当分子云变得足够致密，质量足够大且温度足够低（使得压力足够低），自引力大于压力的时候，分子云就会发生坍缩，因为分子云密度分布不均匀，较致密的区域比其他区域坍缩得更快，就会裂变成很多分子云核，尺度数光月的分子云核就是恒星形成的种子。分子云核中心坍缩比外层坍缩快，中心与外层分离，由里到外一层接着一层自由落体坍缩，角动量守恒使得下落物质形成吸积盘，吸积盘供养中心正在成长的原恒星。质量约在0.08~100倍太阳质量的原恒星再经过一系列演化就会成为为主序星（太阳就是一颗主序星）。至于宇宙演化的方向问题，不太严谨地说，分子云在坍缩成原恒星的过程中，本身熵的确是减少了，但它还会不断的向外辐射能量，外部的熵增加了。更严谨地说，对于自引力系统，可以推出其无法达到平衡态（整个宇宙就是一个自引力系统），故热力学不适用，也就谈不上熵增原理。

人造卫星有一定的在轨寿命是因为它时刻受到地球大气产生的阻力，从而使其轨道下降最终落入大气层。因此，一般轨道越高的卫星在轨寿命越长（当然也与卫星的形状有关）。如果卫星携带有足够的燃料，能够在卫星不断损失能量时不断补充，那么就可以使卫星一直待在轨道上。比如国际空间站就是一个例子，经常会有货运飞船为它补充燃料以帮助其轨道高度而不至于坠入大气。当然国际空间站最终还是会坠入大气。

然而，对月球这样的卫星，由于其轨道高度远远高于一般的人造卫星，因此在月球几乎不会受到地球大气阻力的影响。而且影响月球轨道的主要因素也不再是地球的大气，而是受到地球上潮汐的影响。在月球引力的作用下，地球上有了潮汐。但又由于地球自转速度大于月球公转速度，因此地球上的涨潮的地点要超前于月球的位置。这会对月球的轨道运动产生一个力矩，向前推月球，同时使地球自转减速。在这一效应的影响下，月球轨道不但不会下降，反而会以大约每年四厘米的速度远离地球。也就是说，过去月球离我们更近，而且地球自转更快。按照这样的趋势下去，地球自转将会与月球绕地球的公转同步。因此可以认为月球的轨道寿命几乎是无限长的（不考虑太阳死亡之后的事情）。