专栏名称: 中科院物理所

物理所科研动态和综合新闻；物理学前沿和科学传播。

把地球装进方格纸！二维地图绘制的空间折叠术

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2025-03-17 12:00

正文

你是否发现，世界地图上的俄罗斯看起来比非洲还要大？世界地图的比例尺不是绝对准确的？这些现象的背后，隐藏着地理制图学的根本挑战——如何将地球表面展开成一个二维平面，尽量避免失真。

地图是如何制作的？

地图的数学基础是地图的基本骨架，它决定了地图上物体和现象的空间位置和精度，其内容主要包括地图投影、地图比例尺、坐标系统和地图定向。本文我们主要讨论地图投影这件事。

将一个橘子剥开，试图将橘子皮压平，只能撕裂或者拉伸。类似地，地球近似一个椭球体，试图将其展开为平面的操作，也会遇到同样的困难。

由于地球椭球面是一个不可展的曲面，而地图通常是连续的二维平面，如将球面强行展开，必然会产生裂隙或褶皱。因此，必须在球面与平面中建立某种数学法则来解决这个问题。将地球椭球面上的点转换到地图平面上的点的方法称为 地图投影 。

地球投影种类繁多，根据制图区域的位置、大小、区域形状以及地图用途，可设计或选择不同的地图投影。按投影后经纬线的形状进行分类，最常见的有 方位投影、圆柱投影和圆锥投影 。

当然不论哪一种投影方式都会产生误差和变形，其中包括长度变形、角度变形和面积变形。有的投影地图上同时存在三种变形；有的投影地图上面积没有变形，但角度变形较大；有的投影地图上角度没有变形，但面积变形较大。在不同投影的世界地图上，格陵兰岛的面积变形、形状变形都十分明显（见下图）。

地图投影的数学核心是建立球面坐标（经度

\lambda

、纬度

\phi

）到平面坐标的映射函数：

x=f(\lambda,\phi), y=g(\lambda,\phi)

，不同的投影方式对应不同的函数设计。以 墨卡托投影和高斯-克吕格投影 这两类经典的地图投影为例。

墨卡托投影 对应的数学公式为：

x=R\cdot\lambda,\quad y=R\cdot \rm{ln}[tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2})],

该投影通过指数拉伸纬线间距，确保任意两点间的直线即为恒定航向线。简单理解即它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置的正确。但代价是高纬度面积膨胀，如格陵兰岛（实际约216万平方公里）与非洲（约3020万平方公里）在图上看似大小相近。另外，这种投影下极地将无法显示，因为纬度接近90°时，

y

值趋向无穷大。因此它是航海家的“方向神器”，常用作航海图和航空图。

墨卡托投影

以格林威治为中心的墨卡托地图投影

高斯-克吕格投影 是局部保形的数学魔术。针对大范围地图的形变问题，高斯-克吕格投影将地球划分为狭窄经度带（如6°一带），每带独立投影。其公式基于保角映射：

x=s\cdot\lambda\cdot cos\phi,\quad y=s\cdot\phi,

推荐文章

中科院物理所 · 把地球装进方格纸！二维地图绘制的空间折叠术

14 小时前

中科院物理所 · 揭示Cas5-HNH/Cascade复合物的结构基础 | 进展

昨天

中科院物理所 · 又为粗薯条细薯条吵翻了！波浪薯条更是被当众处刑，薯饼：那我算什么？

昨天

环球物理 · 【初中物理】八年级物理下册，易错知识点整理

2 天前

环球物理 · 【物理动图】初中物理，多张动图，秒懂物理现象

2 天前

互联网思想 · 比王健林+马云还有钱的中国隐形首富, 资产全部捐给国家

8 年前

大呲花 · 小学时候的骂人磕，你还记得几个？

8 年前

炉石传说 · 6月1日-4日每天18点《炉石传说》狂野大师赛打响选手套牌公布

7 年前

蔡礼旭老师 · 认识命运、改变命运 |《太上感应篇图说》34：宜悯人之凶（甲）

7 年前

华为企业业务 · 全联接大会必读“秘笈”：揭示世界500强及领先企业数字化转型最佳实践

7 年前