1.题解：
在理性的一切理论科学中都包含
有先天综合判断（synthetic a priori）作为原则
这里要注意两点。首先，考察Lucas Thorpe的康德术语辞典（The Kant Dictionary），康德将规则（rules）视为知性（understanding）的能力，而区别于原则（principles）为理性（reason）的能力。规则仅仅有一种概念功能，用以划分对象的范畴或进行范畴化（classify objects）——通过规则的能力将对象分成属于或不属于的两个范围：
They do this by serving as rules to potentially divide any set of objects into two classes: those that fall under the concept and those that do not.
而原则（principles）则更具基础性。一方面，在理论理性的视角中，原则是作为三段论主要前提的根本规则；从实践理性层面来看，原则是统帅所有理性选择的准则，不论是绝对律令（categorical imperative）还是假言命令（hypothetical imperatives）皆属原则：
From the theoretical perspective a principle is a universal rule that can function as a major premise in a syllogism. From the practical perspective principles are practical laws that have the function of governing our rational choice of maxims.
Both the categorical imperative and hypothetical imperatives are principles in this sense.
第二点，“一切理论科学”，在康德的视野中指数学、自然科学和形而上学（哲学）。因此标题的含义即为，这些科学都以先天综合判断作为原则
。
2.导言第五节第一段：
数学的判断全部都是综合的。这条定理似乎至今尚未被人类理性的分析家们注意到，甚至恰好与他们的一切推测相反，尽管它具有无法反驳的确定性并有非常重要的后果。这是因为，人们由于看到数学家的推论都是依据矛盾律进行的（这是任何一种无可置疑的确定性的本性所要求的），于是就使自己相信，数学原理也是出于矛盾律而被承认的；他们在这里是弄错了；因为，一个综合命题固然可以根据矛盾律来理解，但只能是这样来理解，即有另外一个综合命题作为前提，它能从这另外一个综合命题中推出来，而决不是就其自身来理解的。
这一部分主要解决数学的判断全部都是综合的这一命题。首先康德辨析数学的判断到底是综合的还是分析的。
亚里士多德在《形而上学》中认为“任何东西在同一时间不可能既存在又不存在”，
矛盾律
藉此而来，即对于任意命题p，p和非p不能在同一时间、同一方面同时为真，根据此，如果任意一个命题包含矛盾，则为假，按照亚里士多德的说法，这是“所有原则中最无可争辩的原则。”然而，康德此处颠覆了矛盾律的本体意义，相反，一些定理确实是依据、符合矛盾律的，至少在理解层面，如果命题有矛盾说明整个论证推论过程存在问题，或者说不完备。
但是，我们切不可因为表面上符合这个规则，就将这个规则视为最根本的构造原则。例如，光的折射原理，光在不同介质中会发生折射，光确实会发生折射的，但是并不是说光的本质上就有一个【可折射性】，只是光在某种环境中符合这样的规律。因此，矛盾律只是一个外显的规律，任何形成的命题必然符合矛盾律，但是并非出自于矛盾律。康德意识到了这一点。
康德认为数学判断全部都是综合的，相反，此前其他哲学家们（Kant：人类理性的分析家们）并非如此，而是认为数学判断不同于自然科学等知识，是分析的。原因就在于，他们误解了上述关于矛盾律的问题。一个综合命题可以通过矛盾律来理解，但是其自身并非是依据矛盾律来构造的，同样，一个综合命题看上去好像是分析的，但是它自身并非是通过分析的方式来构造的，依据康德的说法，我们可以理解为一个综合命题是由另一个综合命题推出来的，例如我们最初学习乘法的时候，5x6=30，是由加法5+5+5+5+5+5推出来的。所以，那些人类理性的分析家们一直以来都搞错了。
3.导言第五节第二段：
首先必须注意的是：真正的数学命题总是先天判断而不是经验性的判断，因为它们具有无法从经验中取得的
必然性
。但如果人们不愿接受这一点，那么好，我将把自己的命题局限于纯粹数学，这一概念的题中应有之义是：它不包含经验性的知识，而只包含纯粹的先天知识。
随后康德继续开始辨析，真正的数学命题总是先天判断，而不是经验性判断，因为数学命题都需要通过证明，即便是通过归纳法得出的结论，也要进行论证，这样才具有普遍性、必然性。不过，人们通常不会同意，因为许多数学命题已经和生活经验贴合得太紧密了，仿佛曾经那些耗费大量精力进行证明和理解不复存在了。所以，康德退而求其次，将范围缩小到纯粹数学，至少在这一范围内，它不包含任何经验性的知识。
4.导言第五节第三段：
虽然人们最初大约会想：7+5=12这个命题是一个单纯分析命题，它是从7加5之和的概念中根据
矛盾律
推出来的。然而，如果人们更切近地考察一下，那么就会发现，7加5之和的概念并未包含任何更进一步的东西，而
只包含这两个数结为一个数的意思，这种结合根本没有使人想到这个把两者总合起来的惟一的数是哪个数。
12这个概念决不是由于我单是思考那个7与5的结合就被想到了，并且，不论我把我关于这样一个可能的总和的概念分析多么久，我终究不会在里面找到12。我们必须超出这些概念之外，借助于与这两个概念之一相应的直观，例如我们的五个手指，或者（如谢格奈在其《算术》中所说的）五个点，这样一个一个地把直观中给予的五的这些单位加到七的概念上去。因为我首先取的是7这个数，并且，由于我为了5这个概念而求助于我的手指的直观，于是我就将我原先合起来构成5这个数的那些单位凭借我手指的形象一个一个地加到7这个数上去，这样就看到12这个数产生了。要把5加在7之上，这一点我虽然在某个等于7+5的和的概念中已经想到了，但并没有想到这个和等于12这个数。所以算术命题永远都是综合的；
对此我们越是取更大的数目，就越是看得更清楚
，因为这样一来就明白地显示出，不论我们怎样把我们的概念颠来倒去，我们若不借助于
直观
而只借助于对我们的概念作分析，是永远不可能发现这个总和的。
这里康德为了论证数学判断全是综合的，分析了7+5=12这个算术命题。整个式子7+5，“根据矛盾律”，不能是任何数，只能是12，这就是所谓的根据矛盾律所推出的，然而这样存在一个问题，当我们谈到【不是任何数】的时候，显然将自己落入了一个巨大的集合中，这个集合中的数字是无穷多的，我们无法通过矛盾律一一比对，因此，数学算式正如前面所说， 不可能是根据矛盾律构造的。
5.导言第五节第四段：
同样，纯粹几何学的任何一个原理也不是分析性的。两点之间直线最短，这是一个综合命题。
因为我的直的概念决不包含大小的概念，而只包含某种性质。
所以“最短”这个概念完全是加上去的，而决不能通过分析从直线这个概念中引出来。因此在这里必须借助于直观，只有凭借直观这一综合才是可能的。在这里，通常使我们以为这种无可置疑的判断的谓词已经寓于我们的概念之中、因而该判断似乎就是分析性的那种信念，只不过是用语含混所致。因为我们应该在一个给予的概念上再想出某个谓词来，而这种必要性已经附着于那些概念身上了。
但问题不在于我们应该想出什么来加在这个给予的概念上，而在于我们在这个概念中实际上想到了什么，即使只是模糊地想到了什么，
而这就表明，这谓词虽然必然地与那概念相联系，但并非作为在概念本身中所想到的，而是借助于某个必须加在这概念上的直观。
