人类，在万物生灵中，之所以与众不同，独一档的智慧存在，不是因为有语言，动物基本上都有，都会叫唤；不是因为会使用工具，乌鸦、猴子也会用工具；也不是因为作图会做标记，动物都会做，“蛇有蛇道，鼠有鼠道”，狗都会撒尿当地标。那么是因为什么呢？是数，人类会数数，会算数，创造了数学！
人类在结绳记事之前，都是未开智的动物而已。人类有了结绳记事，创造了数字“1”，就打开了大自然的大门，自此一生二、二生三，诞生了一个又一个的自然数，同时又因为分配问题，又创造了分数，制定了进位规则。这就是智慧，智人的开端。
数的单位元1
自然数的单位是“1”，严格说分数也是自然数的变种，只不过其单位是分子为“1”的分数，也是数个数的一种方法，如“2”个“1/3”、“5”个“1/7”等等，有多少猎获，一个东西怎么分，这不需要智慧吗？分母就是进位制、进位规则，人类自此走上了推演之路，有了加法法则，文字源于作图，加上数字四则运算，文明程度越来越高级了。
人类面对空虚无不知所措，进入数字运算上千年了，依然懵懂茫然，也许突然间灵光一闪，就创造了数字“0”，用来表达空、无。“0”，不是由“1”自然产生的，跟自然数“0”关系。“1”和“0”，都是人造数，“1”比“0”早生千年而已。没有大智慧，也不会创造“0”，人类文明会被严重卡壳。新数“0”，在“1”创四则运算规则之内，做分母，将破坏整个运算体系，出现“0”=“1”这类BUG，怎么办？智者于是增加一条规则：“0”不能做分母，这样“0”就正式加入数系，其乐融融！人类每一次数的创造，都是智慧文明发展到了一定程度，倒逼出来的。
无
人类有了“0”，负数的出现，就完全挡不住了。人类创建的加法规则、1、0，就是公理，减法、乘法、除法，都是加法的推演。由此自然数、0、负数，构成整数，分数、整数构成有理数。有理数都是一个一个离散的数，是人类因为数数之需而创生推演出来的，从这个意义上来说，有理数是“可数”的。
在有理数这个数系上，人类建立了数学，发展了逻辑推理，诞生了科学。随着智慧的累积，文明的提升，也遇到了新的数的困惑。
毕达哥拉斯定理的发现，单位正方形的对角线长√2，无法用有理数来表达，其值算不尽，无限不循环，被视为恶魔之数，被禁言，甚至还有人因言它而获罪，付出了生命。
发现的第一个无理数
人类在处理最完美图形圆的周长时，发现了“π”，也是算不尽，无限不循环。人类不面对这些无厘头的数，看来也不行。人类必须正视它，此类数被命名为无理数，虽然很无理，但我们不逃避，把数系从有理数，扩充了无理数。有理数、无理数统称为实数，实数系建立。
π的发现
加减乘除、开方指数对数，公理、规则、定理、推论，代数、几何蓬勃发展，生机盎然，好像人类面对世界上的一切，都是可算的。但是，人类在解一元三次方程时，遇到了算术规则之下，负数开平方必须继续进行的问题，怎么办呢？甭管他有没有意义，依据规则，坚持书写，坚持运算。实在嫌麻烦，就创造“i”字母来代表（√-1），节约书写时间。大家觉得他没有什么意义，那就叫它“虚数”，“i”为虚数单位，对比照已经很有意义的“实数”。虚虚实实、实实虚虚，有理、无理，数学也真好玩。
i的标准定义
此时的人类已经很聪明了，把玩数学，自有高手，发现虚数单位“i”很有意义，可以表示物理现实中的旋转！这一下虚数不“虚”了，智慧又一次升级。实数、虚数，各自代表一个世界，实平面扩展为复平面，揭开了更加精彩的世界。
i的常用定义
伟大的欧拉，发现了又一个无理数“e”，
e的定义
籍此推导出了宇宙最美的式子，把1、0、π、e、i、+、=，组合成一个恒等式！假如有上帝，上帝都会赞美人类有如此的智慧，发现了这么绝美的等式，这真是人类智力的一个高峰啊！
最美的恒等式
人类现在拥有了实数和虚数，实数、虚数构成复数。
完整的数系
代数方程基本原理横空而出，整系数N次方程的根有N个复数根！能做代数方程根的数为代数数，不能做代数方程根的数为超越数。代数数可以是虚数、有理数、无理数；超越数一定是无理数，比如目前发现的超越数“e”和“π”，就是其中之二。现在无理数可分为代数数无理数和超越数。
关于数，现在还有迷糊的地方，在实数轴上，就两类数：有理数和无理数。有理数是离散的，那么数轴上剩下的无理数，就应该是连续的吧？两个有理数之间，有无限多个实数；两个无理数间也有无限多少个实数。
大数学家戴德金告诉我们，在实数轴上砍一刀，砍下来的数轴断面上的是有理数，因为有理数离散有限，才砍得断而留在断面；而无理数无限不循环，怎么砍也砍不断，因此无理数是连续的。这能理解吗？
戴德金分割
测度论开山鼻祖勒贝格说，有理数是一个个离散的点，点没有大小长度面积体积，在数轴上所占位置的测度为零，即全体有理数加起来所占位置测度也为零！
有理数测度为零
也就是说，实数轴上布满的几乎全是无理数，全体无理数加起来的测度，就是数轴的长度！惊奇不惊奇？数轴上100%是无理数，有理数占比0%，这真是太违反普通人的常识了。
无穷大一一对应无穷大
有理数无限离散、可数，无理数无限连续不可数，实数无限不可数，这又导出来无穷大问题。康托尔告诉我们，有理数中全体都可以和自然数一一对应，即无穷个有理数和无穷个自然数可以一对一，一个不漏！而有理数却和无理数无法一对一，无理数比有理数多得多！
一一对应
即无理数的无穷大相比有理数的无穷大是更高阶的无穷大，两者的无穷大不在一档！代数数是可数的，无穷大同有理数；超越数是不可数的 ，无穷大同无理数；超越数比代数数要多得多！
无穷大的第一个基数
莫名惊诧，但是你可以质疑！看看数轴理论、集合理论、测度理论，慢慢消化吧！反正发现无穷大基数阿列夫ℵ_0、ℵ_1的康托尔进过疯人院！太高级的智慧烧脑啊，大家小心！
不同基数的无穷大
二维平面上的点坐标和数轴上的点一一对应，一样多，无穷基数相同。
多维空间中的点坐标也和数轴上的点一一对应，也一样多，无穷基数相同。
看看康托尔创造无穷基数阿列夫后，得出来多么震惊的结论！
无穷大基数关系
我不由想到，人类所处的真实物理世界，和数轴上的点可以一一对应，那么类似无理数连续的点，我们是无法取出来研究的，因为他们无限不循环，无法斩断、无法分离出来。那么我们人类只能研究类似有理数的物理实体，有理数是离散的，离散就是量子化的啊？难怪我们掌握的微观世界是量子化的基本粒子组成，基本粒子组成复合粒子，还是离散的，复合粒子组成更多的物质，不管它组合多大，就像累加自然数一样，都是离散的，所以一颗颗恒星在物理世界是离散的，离散的有理数完完全全淹没在连续的无理数海洋中，离散的一颗颗星星就淹没在连续的时空中，测度为零，微不足道，因此星星那么多，天空却依然那么黑，那么冷，这是不是就很显然了呢？
从数学诞生“数1”的那一刻起，人类能触摸感知的世界就是离散的、量子化的有理数世界。
太空黑冷得让人恐惧！
除了我们时空中已经有的“离散”物质，其实我们还能无中生有，有中变无！这得感谢“虚数”单位“i”，“i”其实不虚，还实力非凡！狄拉克方程中的“i” ，不但揭示了电子的自旋，还明白无误地指出，真空就是一片能量之海，高能光子能激发出正负电子，这就是0、1的作用：0生1，1生0，1生2…，“i”的创生较晚，其神秘的物理图像，才刚刚露出一角。
这就是数学，1、0、i、“ℵ”，这些数，都是人脑造的产物，研究无穷大的阿列夫，创生最晚，不足一百五十年。虽然数学家们的思维海阔天空，脑洞大开，但物理学家们一致认为真实的物理世界是既没有无穷大，又没有无穷小的。宇宙之大，有其上极限；基本粒子之小，也有极小限。
这就是数学，让我们解构世界，不愧为人类智慧之光！
