参考文献：《企业异质性理论研究：从新新贸易理论到动态宏观经济学理论》，首都经济贸易大学出版社，2020.以下内容来自该书第三章第6节。
到底什么是“平均场博弈”（mean field game theory）理论呢？
简单而言，平均场博弈理论研究的是微观个体与群体（population）分布之间的博弈策略。该理论最早的思想可以追溯到经济学研究的匿名序贯博弈（Jovanovic B, and Rosenthal R.W, 1988）。在人类社会、动物群体以及工程应用中存在大量的微观个体与群体分布进行博弈的案例。平均场博弈中的两个博弈对手（players）为：微观个体和群体分布，该博弈理论的博弈对象与传统博弈论中的博弈对象有较大的差别，传统的博弈理论中的博弈对手都是具体的微观个体，而在平均场博弈中的两个博弈“对手”中的其中一个，却是一个抽象的概念，它表示的是群体分布。需要注意的是，群体分布是由大量的微观个体的决策行为所决定的，也就是说微观个体的决策也影响着群体分布，而个体的决策又是受到群体分布的影响。
该理论最早由加拿大McGill大学的Peter Canies团队，法国数学巨擘、菲尔之奖得主Pierre-Louis Lions于2006-2007年前后分别独立提出。
加拿大McGill大学的Peter Canies教授 | 
菲尔之奖得主、法国数学家Pierre-Louis Lions |
平均场博弈理论有以下两个显著的特点，使其区分于传统的博弈理论。
第一，每个微观个体，如果单独考察，其个体对群体分布的影响忽略不计，但是将大量个体汇总观测，个体加总的“群体”效应不可以忽略不计。
第二，平均场博弈决定了传统博弈理论难以处理的多人博弈的难题。传统的博弈论中，博弈对手往往仅涉及两人（比如：经典的囚徒困境问题），涉及三个博弈对手的博弈问题即非常棘手，往往遇到计算困难，而涉及四个博弈对手的博弈问题已经鲜见于学术文献，而五个或以上的博弈对手问题属于不可解问题。
传统的博弈论：经典的囚徒困境问题
但是，幸运的是，根据冯.诺依曼的哲学思想，冯.诺依曼认为当博弈对手的数量为百万、千万甚至趋近于无穷时，此时的“多对手”问题又变得可能有解。之所以有解的原因是因为科研人员可以通过观测大量“多体”所呈现出来的统计特性来重新描述问题、定义问题，进而展开有价值的研究。平均场博弈理论就是借鉴了这样的哲学思想。
计算机之父、博弈论创始人之一冯诺依曼教授
下面给出四个可以利用平均场博弈理论来解释的例子。利用这四个例子也可以说明创立平均场博弈理论是有价值的，绝非仅是数学家们为了炫耀自己数学技术而打造的没有实际应用价值的数学智力游戏[3]。
以人类社会为例，以散户在股市中炒股为例。微观个体，即散户股民的所有投资行为基本上都是基于大盘的走势做决定。而每个散户股民本身又是市场（大盘）的一部分。每个散户都是具体的概念，而“大盘”是一个抽象的概念，大量的散户本身就是“大盘”。每个散户买卖股票对大盘，甚至对其投资的个股走势的影响都可以忽略不计，但是大量散户的群体行为（即宏观行为）不可以忽略不计。散户无时无刻不在和“大盘”这个抽象的博弈对手进行着博弈。
以动物群体为例。以鱼群为例，每一只鱼每一时刻的移动是受鱼群的移动趋势影响的，每一只鱼都是紧随鱼群的移动而移动（否则鱼就会离群，就会“落单”），而所有鱼的移动是鱼群移动趋势的成因。每一只鱼都是一个具体的概念，而鱼群是一个抽象的概念，大量的鱼本身就是“鱼群”的概念。每一条鱼对鱼群的运动的影响都可以忽略不计，但是大量鱼群的行为不可以忽略不计。每条鱼无时不刻不在和“鱼群”这个抽象的博弈对手进行着博弈。
以工程学为例，如何最优的控制无线基站的能量供给一直是困扰工程师的一个工程问题。基站试图最大化每一个个体的信噪比（SIR）,而每一个个体的信噪比并非来自于均匀分布，也就是说每个手机用户的信噪比和基站之间有关系。因此，基站如何对每一个手机用户传输功率，与基站和手机用户之间都有关系。该例子来自于Caines, P. et al（2006），这就是Peter Canies团队创建平均场博弈的初衷。
还是以人类社会行为为例，这个例子是Pierre-Louis Lions教授最喜欢的例子之一。该例子就是“墨西哥人浪（Mexico wave）”。熟悉足球的读者对此概念一定不陌生。图3-1说明了什么是“墨西哥人浪”。墨西哥人浪这一概念产生于1986年墨西哥世界杯，在该年世界杯看台上，热情的墨西哥球迷伴随着“La Ola”的歌曲口号，创造出了“人浪”，人浪感染了现场观众还感染了全世界电视机前的观众，于是“墨西哥人浪”因此而得名。有实证研究表明，体育馆内的人浪一般具有以下三个特点：一、一般在场内呈顺时针方向滚动；二、人浪的推进速度一般保持在每秒12米，即约20个座位；三、人浪的平均宽度为6至12米，即约15个座位。“墨西哥人浪”问题是一个典型的平均场博弈问题，研究该问题的意义在于：通过理解体育场开台上的带头者对群体球迷的影响，可以帮助政府控制和理解现场球迷的群体行为和动向，进而防止球迷暴力事件的发生。（待续未完）
体育馆内的“墨西哥人浪”实景（图片来自互联网）
