有个公式画出来的图像和公式本身一样？

数学，逻辑与艺术完美结合的学科。

数学公式，作为数学结论的高度概括，无不体现着优雅的自然哲理，闪耀着人类智慧和思想的光芒。

无数文章描绘和赞美了各种奇异的数学公式。典型的例子如欧拉公式：

而本文要讲的是一个更加奇异的不等式，它的诡异之处让人简直无法相信，因为它的图像与它自身竟然长得一样！

它的真容是下面这样的。

其中 表示向下取整，例如 ，mod返回相除的余数。

一堆复杂的计算，看起来没什么美感。

当给定 如下值：

960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719

各位仔细看，蓝色的图像部分与上面不等式长得差不多吧？

有人惊呼，这式子的内在和外表一模一样，用 “表里如一”形容差不多，简直就是数学世界的“耿直哥”！

没错，它的名字叫做 自引公式 （self-referential formula），意即它自身就呈现了图形的样子。

然而，深入了解这个公式的来由，你会发现，它的功能并非只是“自引”。

这个不等式由加拿大多伦多大学计算机科学系的 Jeff Tupper在2001年提出，其目的是为绘制二维像素图提供一种通用的算法。

如果把k值当作密钥，该算法针对106 × 17个像素的任意位图，提供了一种加密算法，将图形储存在k值中。 反过来，给定合乎要求的k值，该算法能将其对应的位图解码呈现。

针对该算法，有网友做了一个在线工具（以下简称keelyhill），网址为：

https://keelyhill.github.io/tuppers-formula/

该网页提供了一个手动绘图区，随便你画个什么图，网页自动同步实时更新对应的k值。

我就是在这里以“点鼠标”的笨办法，绘制了 一副像素为106 × 17的“physics”的图形（为了看清已放大）。

绘完后，网页自动加密图形得到k值：

120401836680646659455509389646023899515705854231963556041160524191114866288029520682884224620219395105639626717497512919432620009513234075338266327025415934700600983682893043453188898768182476382464582411154444434372693115229418739650991359706460160665110459999255798829023608683322251788245903097150734552156077686651923371287193708247211723456855071032994435095877499869830270139101542049407235599036201088283821293420150784

1. 用photoshop之类的软件制作一个 106 × 17的任意格式的图片。

2. 将其转换为PBM格式。

3. 将PBM文件上传传到 keelyhill ，加密k值就自动得到了。

那么，在哪里可以解码呢？

有两种方法——

1. 按照自引公式的算法，自己写一个解码程序。

2. 找个在线工具来完成。
   

from functools import reduceimport matplotlib.pyplot as pltimport mathxs = []ys = []k = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719for x in range(106):    for y in range(k, k+17):        d = ((-17 * x) - (y % 17))        e = reduce(lambda x, y: x * y, [2 for x in range(-d)]) if d else 1        if 0.5 < math.floor((math.floor(y//17)//e) % 2):            xs.append(x)            ys.append(y-k)plt.figure(figsize=(20,3))plt.xlim(106, -1)plt.ylim(17, -1)plt.scatter(xs, ys, marker='s')

将代码里面的k值换成你的k值，即可得到解码后的图形。

第二种方法就简单多了，网上工具很多，例如 https://tuppers-formula.ovh/ 你只要把k值贴入，点击“Number to Graph”按钮即可得到图形。

好了，关于自引公式的功能和用法，基本讲完了。

然而，看到这里，读者是不是对这个公式没有之前那种奇异的感觉了？

没错，你也许明白了，这个公式并非只为了彰显它自己的样子，它实际上是提供了一种加密和解码图形的通用方法。

既然任何 106 × 17像素的图形都可以被加密，那同样，只要把自引公式 存为这么大的一个图片，例如：

然后经历上述流程，就会被加密为一个k值。而用这个k值自然就能反过来重新得到这副图片——它与公式自身长得一样。

所以，自引公式的图像显示为它自己的样子，并不是什么巧合的事！它只是无数个加密图形中的一个而已。

正是这个原因， Jeff Tupper本人对“ self-referential formula ”这个名头根本不感冒！

没错，它根本不是什么自引公式，它就是一个普通的图形算法公式而已。