Leibniz 如何想出微积分？（三）

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Leibniz 如何想出微积分？（一）

Leibniz 如何想出微积分？（二）

考虑函数 , 作 [a, b] 的分割

得到差分 与 , 。Leibniz想象（或根据他的连续性原理，principle of continuity），让分割越来越细密，乃至作无穷步骤的分割，使每一小段都变成无穷小 (infinitesimal)，于是差分 变成微分 dx（Δ 改为 d 且丢弃指标 k），其中 dx 表示无穷小，它不等于 0并且要多小就有多小。从而差分 变成微分 dF(x) = F(x+dx) - F(x)，dF(x) 表示独立变量 x 变化 dx 时，相应函数值的无穷小变化量。换言之，微分是差分在无穷小时之类推。

Leibniz 在1684年首次给出微分的概念与记号，以及如下的演算公式：

例 1. 设 F(x)=xn 则 dF(x)=nxn-1dx。

Leibniz 的论证是这样的：

因为第二项之后都含有 dx 的高次项，这些都是比 dx 还高阶的无穷小，弃之可也，所以

dF(x)=dxn=nxn-1dx .

特别地，

定理2.

设 u=u(x) 与 v=v(x) 为两函数，a 与 c 为常数，则有

(i) d(c)=0

(ii) d(au)=adu

(iii) 

(iv) 

(v) 

上述(iv)今日叫做 Leibniz 规则。

例2. 若 u=x-n，则 du=-nx-n-1dx，若 u=xm/n，则 。

只要知道一些基本函数的微分公式，透过定理 2 就可以求得更复杂函数的微分公式。这就是原子论「以简御繁」的方法。微分的演算，在 Leibniz 之前都是个案的处理，之后就有了全盘系统化的处理办法，这就是进步。

Leibniz 利用微分来求函数 v=v(x) 的极值，其方法是解方程式 dv=0。他也引入二阶微分的概念与演算，并且利用二阶微分 ddv=0 的条件来求反曲点 (point of inflection)。

数列 u=(uk) 与函数 ，都是「函数」，一个定义在自然数集 N上，一个定义在区间 [a,b] 上，因此两者分别是离散 (discreteness) 与连续 (continuity) 之间的类推。

和分 (summation) 探究数列的求和 问题，积分探求函数图形在 [a, b] 之上所围成的面积，见下图 2。两者具有密切的关系。

首先观察到，和分可以解释为下面图 3 之柱状图的面积。

其次将函数 y = f(x) 离散化：作区间 [a, b] 的分割

考虑和分 ，其几何意义就是下图 4 诸矩形所成的阴影面积，它是图 2 的近似面积。

现在想象将 [a, b] 分割成无穷多段的无穷小段 dx（即微分），想成是差分 的极致（参见图 2），然后考虑无穷小矩形的面积 ，从 x=a 连续地累积到 x=b。这样的求和跟和分有关但却不同，为了区别起见 Leibniz 在1686年首度将记号 改为 。理由是：S 表示求和 Sum 的第一个字母，将 S 稍微拉伸变成 ，表示连续地求和。因此，就用美妙的记号 来表示图 2 阴影领域的面积，说成 f 在 [a, b] 上的积分。换言之，阴影领域的面积就是无穷多个无穷小矩形面积的连续求和，即定积分 (definite integral)。

Leibniz 进一步把积分 看作是微分 d 的逆运算，例如由公式

就得到

一般而言，

Leibniz 说：

像乘方与开方，和分与差分， 与 d 是互逆的。

六. 从差和分根本定理到微积分根本定理

如何求算积分 呢？

这是一个千古大难题。Archimedes 利用穷尽法 (the method of exhaustion)，只会算出

Cavalieri（1598～1647）利用不可分割法或无穷小法 (the method of indivisible and infinitesimal) 求得

Fermat（1601～1665）利用动态穷尽法求得

这些都是个案解决，而且都算得相当辛苦。

Leibniz 有了微分与积分互逆的观点，以及差和分根本定理，很快就看出「吾道一以贯之」的微积分根本定理，利用微分法普遍而系统地解决求积分的难题。这是微积分史，乃至人类文明史上的伟大时刻 (the great moment)。Leibniz 将他的发现在1693年发表。

考虑函数 。作 [a, b] 的分割：

由差和分根本定理知

或者

现在让分割不断加细，使每一小段都变成无穷小，将 Δ 改为 d， 改为 （记号变形记），上下限指标改为 b,a，那么(6)与(7)两式就变形为

从而，欲求 ，只要找到另一个函数 y=F(x)，使得

那么就有

Eureka! Eureka! 我们自然就得到微积分里最重要的一个结果：

定理 3.微积分学根本定理

给一个函数 f，如果可以找到另一个函数 F 使得

那么就有

这个定理完全是定理 2 的平行类推！我们称(13)式为 Newton-Leibniz 公式，因为牛顿也独立地发现它。今日我们还要求 f 为连续函数。

Leibniz 创造优秀的记号，透过差和分根本定理，「直观地」就看出了微积分根本定理。Leibniz 说：

值得注意的是，记号帮忙我们发现真理，并且以最令人惊奇的方式减轻了心灵的负荷。

Leibniz 一生对记号非常讲究。数学家 Laplace（1749～1827）也说：

数学有一半是记号的战争。

我们要强调，记号的适当创造与掌握，是掌握数学的要诀。下面将 Leibniz 所创造的记号作个对照表： 

在定理 3 中， 赫然出现了 之记号，这是微积分里头的一个关键性概念。它代表什么意义？如何定义？

首先让我们来解释它的几何意义。 是由 的无穷小化得来的。显然

代表函数 y=F(x) 的图形上，通过两点 (xk,F(xk)) 与 (xk+1,F(xk+1)) 的割线斜率，参见图 5。

无穷小化后的 就是通过 (x, F(x)) 点的切线斜率，参见下图 6。

因此，求积分 从几何观点来看就是，找一条新的曲线 y=F(x)，使其切线斜率 为 f(x)，那么 的答案就是 F(b)-F(a)。据此，Leibniz 也称求积分为求反切线的问题 (the inverse tangent problem)。

下面考虑 的定义。按照上述的思路， 当然定义成

其中 dx 代表 x 的「无穷小」变化量， ，lim 表示取极限 (limit)。这分别代表无穷小论证法与极限论证法。后者是「以有涯逐无涯」的论证方式，即由割线斜率来探取切线斜率。有时 也记成 DF(x) 或F'(x)。

由 F(x) 求出 叫做导微（动词用）。 叫做 F(x) 的导函数 (derivative)。已知函数 f(x)，欲求另一个函数 F(x) 使得 ，是为微分的逆算。我们称 F(x) 为 f(x) 的反导函数 (antiderivative)。因此，定理 3 告诉我们，欲求积分 ，只要找到 f(x) 的反导函数 F(x)，那么 F(b)-F(a) 就是答案了。这就是用微分法解决积分问题，普遍而可行的办法。要点是，求反导函数并不太难。

如何求一个函数的导函数呢？

在做计算时，若采用无穷小论证法，就要记住无穷小诡谲的双重性格：它不等于0，但是要多小就有多小。这样看来，无穷小不是死的，而是活生生的小精灵。通常无穷小 dx 可正可负，即正无穷小与负无穷小，这种情形 dx 不等于 0，但其绝对值小于任意正实数。

例3. 考虑 F(x)=x3，则

（因为 dx 可任意小，故后两项弃之可也。）

如果你对「无穷小」感到「不自在」，那么我们也可以采用极限论证法：

殊途同归！在计算过程中，我们的论证是这样的：由于 ，故可以从分子与分母消去；其次因为 ，故 。这样的论证其实跟无穷小论证法差不多。目前较通行是极限论证法。

事实上，极限概念有直观（良知良能）的一面，也有深奥的一面（ 与 定式），真正要说清楚是相当费事的。留给正式微积分课去解说。

例4. 因为 ，故由 Newton-Leibniz 公式得

我们作一个很重要的观察：

给一个数列 u，若数列 v 满足 ，我们就记为

而称 为 u 的不定和分，因而 与 Δ 互逆。这样做非常方便，定和分只需附加上下限就好：

同理，由

我们就记为

而称 为 f 的不定积分 (indefinite integral)，因而 与 d 互逆。再把上下限套上去就得到 Newton-Leibniz 公式：

总之，微积分就是利用极限或无穷小来建立微分与积分，再透过微分的逆向运算（由f 求 d-1f）来求积分（面积、体积、表面积、曲线长、重心及里程等等），而微分的正向运算（由 F 求 dF 或 ）又可掌握住求切线、速度、密度、变化率及极值问题，甚至揭开了函数的结构之谜（Taylor 分析）。

微分法是非常锋利的两面刃，是人类破天荒的成就。S. Bochner 说得好：

微分是一个伟大的概念，它不但是分析学而且也是人类认知活动中最具创意的概念。没有它，就没有速度或加速度或动量，也没有密度或电荷或任何其它密度，没有位势函数的梯度，从而没有物理学中的位势概念，没有波动方程；没有力学，没有物理，没有科技，什么都没有 ([8], p.276)。

1. C.H. Edwards, The Historical Development of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡异出版社有林聪源的中译本。

2. A.W.F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle, Oxford UnivPress, 1987。

3. Leibniz, Philosophical papers and letters, Ed. L.E. Loemker, Synthese Historical Library, 1976.

4. A. Weil, Review of Hofmann, Bull. Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975.

5. M.E. Baron, The origin of the infinitesimal calculus. New York: Dover, 1987. （初版1969）

6. T. Koetsier, Lakatos' philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991.

7. D. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969.

8. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ. Press (1966), Fourth Printing, 1981。

9. I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910, An Introductory History, Duckworth, 1980.

10. C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)