ICLR 2025 Oral｜突破深度学习求解PDE的瓶颈，清华提出空间调控新范式GridMix

• 保留了空间调控的 细粒度局部性 ，确保建模精度；

• 同时通过共享基函数提取 全局结构信息 ，有效缓解了过拟合风险。

• 论文标题： GridMix: Exploring Spatial Modulation for Neural Fields in PDE Modeling

• 论文地址： https://openreview.net/forum?id=Fur0DtynPX

• 项目主页： https://github.com/LeapLabTHU/GridMix.git

本文研究聚焦于偏微分方程（PDE）建模任务，其核心是近似算子 。 该算子根据底层 PDE，将输入空间 中的函数映射到输出空间 。 此处 表示定 义域为且值域为 的平方可积函数构成的无限维空间。 我们重点研究以下两类典型任务：

• 动态系统建模：旨在捕捉物理系统在预测时间范围内的动态演化过程。具体表现为建模系统从状态 到状态 的转移过程，其中 表示时间步长。

• 几何感知预测：根据系统的几何构型预测其状态。

在几何预测中，每个数据样本分布于不同的空间域 上； 而对于动力学建模，所有样本使用相同的训练空间域 ，测试时则采用与训练域不同的空间域来评估模型性能。 需特别说明的是， 和 均为完整域 的子集。

CORAL 是最具创新性的 INR 方法之一，它通过两阶段训练策略解决偏微分方程建模问题。在第一阶段（重构阶段），该框架采用两个神经调控场 和 分别对输入和输出函数进行参数化建模。这些神经调控场 作为基础模型，通过不同调制参数实现对不同函数的重构。具体而言，INR 参数 和 在各自函数空间中共享，而调制参数和则是每个函数特有的。 这些调制参数通过超网络 和 从低维调控向量 和 中生成： ， 。 经训练后，每个函数可由低维调控向量经过共享 INR 重构，其重构误差代表了表示质量。 在第二阶段（预测阶段），CORAL 通过处理网络 学习调控编码 与 之间的映射关系。