今天分享雷友写的：windows经典游戏——扫雷与数学的关系。
（一）扫雷的起源
扫雷最原始的版本可以追溯到1973年一款名为“方块”的游戏。
1985年，“方块”被改写成了游戏“Rlogic”。在“Rlogic”里，玩家的任务是作为美国海军陆战队队员，为指挥中心探出一条没有地雷的安全路线，如果路全被地雷堵死就算输。两年后，汤姆·安德森在“Rlogic”的基础上又编写出了游戏“地雷”，由此奠定了现代扫雷游戏的雏形。
1992年，微软公司的罗伯特·杜尔和卡特·约翰逊两位工程师在Windows 3.1系统上加载了该游戏，扫雷游戏才正式在全世界推广开来。
（二）扫雷的成绩排名
随着扫雷的发展，扫雷玩家们发现可以按完成的速度进行排名。目前主要是两大排行榜：国际扫雷排行榜和中国扫雷网排行榜
（据说韩国也有类似的排行榜）
。前者由曾排名世界第三的Damien Moore建立，是目前全球扫雷玩家公认的最权威的世界排行。后者由扫雷爱好者张砷镓等人开发和维护。
国际扫雷排行榜
中国扫雷网排行榜
在国际扫雷综合排行榜上，包括时间在内，初、中、高三个级别一共有10项世界纪录，其中我国的郭蔚嘉占了2项，郭锦洋占了一项，其余7项由一位波兰玩家卡米尔保持。值得骄傲的是，女子排行榜的前10名均被中国玩家占领。
国内的扫雷排行榜，不乏知名学府的学霸
（比如前10名中就有好几个清华、北大的，其中还有一个状元）
；也不乏低年龄段的玩家，比如前10名里有两个是中学生（现在都是高中生）。不仅有各项指标的排行，还有各个地区的排行
（笔者暂居全国38位，四川省第2位）
。根据高级成绩的不同，还分成了若干的称号，如下图所示 ：
扫雷有线下的世锦赛，也有半年一度的线上贴吧赛，不过与产业化的数独相比还是不够正规。雷友们的沟通途径主要是QQ群，雷友们除了畅谈扫雷以外，也互相交流和学习。
雷友张少武（SWZhang）在知乎网上写了很多进阶的教程，雷友郭锦洋在优酷网上传了“TOP NFer”系列视频，感兴趣的读者可以做进一步了解。
百度贴吧“扫雷吧”每年都会举办两次扫雷比赛（春季和夏季）。
前两天由雷友组织的第2届“金羊杯”扫雷比赛也顺利结束，其中有来自非洲和日本的国际雷友参加。
在北上广等大城市，不定期地会有雷友聚会。关于雷友的更多故事，可参见参考文献2。
（三）扫雷的变形
经典的扫雷游戏除了初中高三个级别以外，还有自定义
（custom）
模式，通过更改雷区大小和雷数，来增加或降低难度
（自定义模式也有专门的世界排行）
。
在Windows自带的扫雷游戏基础上，程序员们开发出了专业的扫雷软件
（比如Minesweeper Arbiter）
，它们拥有录像回放、数据分析、布雷训练等很多强大的功能。为了增加有趣性，还可以把数字的颜色统一设置成黑色；或者把数字统一用圆点表示，保留彩色；更有甚者，把数字拿掉，用深浅不一的同种颜色的格子以示区分。
另外，在经典的扫雷游戏的基础上，已经发展出各式各样的变形扫雷游戏，比如挖金子
(竞速)
、chocolate sweeper
(禁止猜雷)
、天天爱扫雷
（多人联合扫雷）
、nonosweeper
（即“数图”）
、立体扫雷
（最后两个刚上过最强大脑）
等。
（一）扫雷的规则
在一个9*9
（初级）
，16*16
（中级）
，16*30
（高级）
，或自定义大小的方块矩阵中随机布置有一定数量的地雷
（初级为10个，中级为40个，高级为99个）
。游戏目标是在尽可能短的时间内翻开所有安全的方块。如果玩家翻开的方块有地雷，则游戏结束。
扫雷的游戏规则非常简单：方格内的数字代表其周围的八个方格中含有的地雷数。通过不断地点击新的方块来获得新的数字，从而逐步推断出地雷的位置，并点开所有不是雷的安全方块即可。
下面是一些细则：
1.左键是翻开方块，右键是标记
（或取消标记）
地雷。如果某个数字周围的地雷被准确地标记出来，双击
（左右键一起按或连续按两次左键）
这个数字，其周围所有未翻开的安全方块会自动翻开。
2.如果所点击方块周围均没有地雷，则相连的所有类似方块及它们的相邻方块同时自动翻开，也就是会出现“空地”。
3.第一下点击默认不会是地雷。为了降低难度或提高可玩性，在某些版本
（比如Windows7）
中，第一下点击必然会出现“空地”。
4.和数独这类有着唯一解的数字游戏不同，扫雷有一定的运气成分。可能会出现2选1等无法用逻辑判断的情况。
5.一般来说，时间超过999s
（即大约17分钟）
，则游戏结束。
（二）扫雷术语介绍
1. 3BV（Bechtel's Board Benchmark Value）:
每局将所有非雷的方块点开所需最少左键点击数，是目前普遍用来评估局面难易程度的数据。
2. 3BV/s——3BV/Time:
一局内平均每秒钟完成的3BV值，是目前普遍用来评估玩家扫雷速度的数据。
3. IOE（Index of Efficiency）：3BV / Total Clicks
3BV与实际点击数的比率，是目前普遍用来评估玩家操作效率的数据。
4. RQP——Time/（3BV/s）:
时间与3BV/s的比率，因加入了时间因素，比3BV/s更能说明扫雷速度。
5. NF（No Flag）:
一种仅用左键点击完成游戏，不标雷的玩法。
6. LC（Lose on the last click）:
打开最后一个方格时不幸踩雷。
7. Sum:
初级、中级、高级成绩相加而得出的总成绩。
8. Sub:
小于某数值，比如高级Sub50就说明高级成绩<50。
9. Sup:
大于某数值，比如高级3BV/S Sup4就说明高级3BV/S>4。
此外扫雷玩家们还自创了很多指标，比如郭锦洋的QG（=time^1.7/3bv），能够弥补现有指标的一些不足。
10. UPK:
可重新开始同一局的游戏模式，本模式保存的录像不能参与排名。
（三）扫雷的风格
根据是否标雷，扫雷风格分为两种：FL（Flag）和NF（No Flag），即插旗和不插旗。
其中FL选手又分为全标流和效率流。全标流是指将大部分的雷都标出然后双击鼠标，其优点是思维简单，缺点是标雷会花费更多的时间。这类选手的手速往往惊人，因此这一流派也被称作暴力双击流（也有极少数的选手标雷单击），典型代表有胡恩彬、齐云水等；
效率流，也叫IOE流，是指仅标出部分有用的雷，尽量做到“标一开二、标二开三、标三开四”。效率流的移动速度往往并不快，而是追求最短路线，减少废操。效率流是公认的速度最快的扫雷方式，典型代表有世界排名第一的卡米尔、国内高级第一的周丹、曾位居国际榜中国第一的张先耀、前“雷帝”杨萧杨等。
NF选手利用左键的快速点击，“看似无棋、心中有棋”。其优点是连贯，思维简单。典型代表有“雷帝”郭蔚嘉、张少武、高伟豪等。
上述选手有的是两种风格兼修，结合二者的优势，更上一层楼。
（四）扫雷的技巧
1.扫雷基本等式
所有扫雷定式的本质实际上是一个式子——扫雷基本等式：两个相邻的数字之差等于两侧的雷数差。如下图，A、B表示两个相邻方格中的数字，X、Y分别表示两侧的雷数，则有A-B=X-Y。
不妨设A>B，有以下结论：
1）对称性：如果相邻两数相等（A=B）且某一侧的雷数确定，则能确定另一侧的雷数（X=Y）。比如：
2）如果大数字一侧的雷数等于相邻两数之差（X=A-B），则能确定小数字一侧没有雷（Y=0）。比如：
3）如果两个相邻的数字相差3（A-B=3），则能直接得出数字大的一边有3个雷（X=3），数字小的一边没有雷（Y=0）。比如：
（想一想，会不会出现5和1相邻的情形？为什么？）
2.扫雷定式
扫雷定式是判雷的利器。在学习扫雷定式之后，结合一定的练习，可以条件反射地判断出哪里是雷，哪里是空。
扫雷基本定式有两个，它们组成了所有的其他定式。第一个是1-1定式，第二个是1-2定式。当出现边缘上的1-1定式时，第3个格子一定是空；
当出现边缘上的1-2定式时，第3个格子一定是雷：
1-2定式的一个更复杂的版本：
除了基本定式以外，常见的定式还有1-2-1、1-2-2-1、2-1-2等。它们其实都是1-2定式的组合，其中以1-2-1、1-2-2-1最为著名。
减法原理：当数字比较大的时候，可以在现有数字的基础上减去周围的已知雷数，转化为常见定式。
3.雷型分布
最后介绍一下雷型分布。熟悉了雷型分布，可以轻松解决大部分的初级问题。如果1个数字与其相邻的格子数相等，那么立马可以判断出这些格子都是雷。比如：
下面是各个数字的雷型分布图（一共有5组）：
1）数字1与7的雷型分布
数字1周围的雷有两种情况（能够翻折或旋转得到的算一种，下同）：
将雷换成空，空换成雷，可以得到数字7周围的雷也有两种情况：
2）数字2与6的雷型分布
数字2周围的雷有6种情况：
反过来，数字6周围的雷也有6种情况：
3）数字3与5的雷型分布：
数字3周围的雷有10种情况：
反过来，数字5周围的雷也有10种情况：
4）数字4的雷型分布：
数字4周围的雷有14种情况：
5）数字8的雷型分布：
扫雷的设计初衷其实是为了让人们学会使用鼠标。令人意想不到的是，这个看似简单的逻辑推理游戏，竟涉及到逻辑学、运筹学、概率统计、算法理论等丰富的数学理论。而且，其背后有一个至今尚未解决的数学猜想——“NP=P？”，为此美国克莱数学研究所提供1000000美元来寻求一种扫雷的有效求解算法。
下面谈谈扫雷中的一些具体的数学问题。
（一）概率：
扫雷不是一个纯靠逻辑推理的游戏，它也会有一定的运气成分，因此便会涉及到概率。
第一，每一局的难度不同。大量统计的结果表明，高级3bv的平均值为172左右。如何判断一个图是否是好图，以及如何限制3bv的范围，就需要一定的统计和概率知识。
