2017年的暑期项目已经陆续开放申请，又到了高中生为争取暑假活动忙碌的时候了。参加高质量的Summer Program，不仅能够增长见识，认识志同道合的同伴们，还能够得到美国大学的学术培养，检验和拓展自己的学术兴趣。
在美国的众多高中生夏校中，有一类夏校可以说是独树一帜的存在，它有别于一般的学分夏校，往往是以封闭式的学习，在4周--6周的时间内，对于一个学术领域进行深入且全面地探索。这样的夏校往往highly selective并intense，在大学申请中能够demonstrate对于一个领域的能力与热情,我们称之为科研类夏校。而数学方向的夏令营可能是我们中国学生参加最多的，含金量高的数学类夏令营主要有：Ross Mathematics Program，PROMYS，Sumac(斯坦福数学营)，etc.
今天，我准备介绍一下青年科学家数学项目Program inMathematics for Young Scientists（PROMYS）
位于波士顿大学PROMYS暑期项目，是超级数学天才去的地方。项目隶属于波士顿大学数学系，每年至少有3名教授为来自世界各地热爱数学的学生授课，同时还会有学术界和工业界的知名数学家、科学家来学校给学生们讲座。
我在期末考、赛达考试结束后，着手研究了PROMYS的申请题目。
相信大家都见过以下两组奇妙的算式吧，
第一组：1*1=1；
11*11=121；
111*111=12321；
1111*1111=1234321；
......
第二组：12345679*9=111111111；
12345679*18=222222222；
12345679*27=333333333；
12345679*36=444444444；
......
这些算式来自小学奥数中的巧算公式，想要证明它们并不难。在PROMYS 2017 Application Problem Set中出现了类似这样的一道有趣数学题，我呢在这里给大家分享下这道数学题中我自己摸索的规律和方法：
计算下列算式：
1^3+5^3+3^3=??
16^3+50^3+33^3=??
166^3+500^3+333^3=??
1666^3+5000^3+3333^3=??
你发现了什么？你能说出并证明你发现的规律吗？
我帮大家省去了按计算器的功夫。
1^3+5^3+3^3=153
16^3+50^3+33^3=165033
166^3+500^3+333^3=166500333
1666^3+5000^3+3333^3=166650003333
相信大家已经发现规律了，让我用一个算式总结一下，
166……6（n-1个6）^3+500……0（n-1个0）^3+33……3（n个3）^3=166……6（n-1个6）500……0（n-1个0）33……3（n个3）。
接下来进行第二步，证明这个规律吧，我猜很多人脑海里第一个浮现的想法是数学归纳法。但是三次方和庞大的数字让数学归纳法变得难以操作，这里呢，我来谈谈我的证明方法：
首先，我们设想以下，如果这个规律一直延续下去，等式左边的三个数字会变成166……，500……和33……，这些数字有什么特别之处？如果还没有发现的话，就在这些数字前加个小数点，我们会得到0.166……，0.5，0.33……，正好是1/6，1/2和1/3。这个时候你可能会发问了，把它们变成分数有什么意义呢？意义在于把三个数字“1/6”，“1/2”和“1/3”都用一个数字“1”来表示。说直白点，我们可以把三个数字分别写成，
166……6（n-1个6）=(a-4)/6，
500……0（n-1个0）=a/2，
33……3（n个3）=(a-1)/3，（其中a=10^n）
这样一来，我们就能把要证明的等式写成，
[(a-4)/6]^3+(a/2)^3+[(a-1)/3]^3=[(a-4)/6]*a^2+(a/2)*a+(a-1)/3，
将等式两边同时展开，就会得到，
（(a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3）
[(a-4)/6]^3+(a/2)^3+[(a-1)/3]^3
=(a^3/216-a^2/18+2*a/9-8/27)+(a^3/8)+(a^3/27-a^2/9+a/9-1/27)
=a^3/6-a^2/6+a/3-1/3
=[(a-4)/6]*a^2+(a/2)*a+(a-1)/3，
于是此题就引刃而解了。另外，这个方法也可以用来解决开篇的两组等式，有兴趣的数学迷可以自己动手试试看。
明天就是除夕夜，提前给大家拜年啦：
祝福大家鸡年吉祥！阖家欢乐！万事如意！
