神奇的等式 巧妙的证明

2017年的暑期项目已经陆续开放申请，又到了高中生为争取暑假活动忙碌的时候了。参加高质量的 Summer Program ，不仅能够增长见识，认识志同道合的同伴们，还能够得到美国大学的学术培养，检验和拓展自己的学术兴趣。

在美国的众多高中生夏校中，有一类夏校可以说是独树一帜的存在，它有别于一般的学分夏校，往往是以封闭式的学习，在4周--6周的时间内，对于一个学术领域进行深入且全面地探索。这样的夏校往往highly selective并intense，在大学申请中能够demonstrate对于一个领域的能力与热情,我们称之为科研类夏校。而数学方向的夏令营可能是我们中国学生参加最多的，含金量高的数学类夏令营主要有： Ross Mathematics Program ， PROMYS，Sumac (斯坦福数学营)，etc.

今天，我准备介绍一下青年科学家数学项目 Program inMathematics for Young Scientists（PROMYS）

位于波士顿大学PROMYS暑期项目，是超级数学天才去的地方。项目隶属于波士顿大学数学系，每年至少有3名教授为来自世界各地热爱数学的学生授课，同时还会有学术界和工业界的知名数学家、科学家来学校给学生们讲座。

我在期末考、赛达考试结束后，着手研究了PROMYS的申请题目。

相信大家都见过以下两组奇妙的算式吧，

第一组： 1*1=1 ；

11*11=121 ；

111*111=12321 ；

1111*1111=1234321 ；

......

第二组： 12345679*9=111111111 ；

12345679*18=222222222 ；

12345679*27=333333333 ；

12345679*36=444444444 ；

......

这些算式来自小学奥数中的巧算公式，想要证明它们并不难。在 PROMYS 2017 Application Problem Set 中出现了类似这样的一道有趣数学题，我呢在这里给大家分享下这道数学题中我自己摸索的规律和方法：

计算下列算式：

1^3+5^3+3^3=??

16^3+50^3+33^3=??

166^3+500^3+333^3=??

1666^3+5000^3+3333^3=??

你发现了什么？你能说出并证明你发现的规律吗？

我帮大家省去了按计算器的功夫。

1^3+5^3+3^3=153

16^3+50^3+33^3=165033

166^3+500^3+333^3=166500333

1666^3+5000^3+3333^3=166650003333

相信大家已经发现规律了，让我用一个算式总结一下，