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今天，是国际数学节，也是圆周率日。说到圆周率，不得不提的人自然是我国古代数学家祖冲之。很少有人知道，除了数学外，祖冲之在天文、机械等多个领域都颇有研究，甚至还精通乐理、音韵。
割之弥细，所失弥少……
——刘徽（魏晋）
撰文：蔡天新（浙江大学数学科学学院）
责编：李娟、韩琨
一、祖冲之与圆周率
祖冲之祖籍河北涞水，该县如今隶属保定市，与北京市的门头沟区和房山区相接。但他于公元429年出生于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康（今南京），这是比较稀罕的，依笔者之见，大都市不容易产生天才人物。自从317年晋室（东晋）南迁以来，江南地区的经济迅速发展，出现了一些繁荣的城市，建康是其中较为突出的代表。
祖家是一个官宦人家，祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大夫，相当于宰相和国策顾问之类。他的祖父和父亲都在南朝做官，祖父是大匠卿，掌管宫室、宗庙、陵寝等的土木营建；父亲是奉朝请，这是闲散大官。古时称春季的朝见为朝，秋季的朝见为请。这个家族的历代成员，大多对天文历法颇有研究。
相比之下，祖冲之担任过的官职较低，却在天文学和数学领域，乃至机械制造方面较其前辈取得更为杰出的成就。在刘宋时期，他曾出任南徐州从事史，这是督促文书、察举非法的官职。必须指出的是，南徐州并非徐州之南，而是徐州东南三百多公里以外的镇江。他还做过娄县（今苏州昆山）县令，也做过掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。到了萧齐王朝，祖冲之官至长水校尉，这是他一生担任过的最高官职（四品）。
从青年时代开始，祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚兴趣，他曾在著作中自述说，自幼起“专功数术，搜炼古今”。祖冲之把上古时起至他生活年代的各种文献资料搜罗来研究，同时亲自进行精密的测量和仔细的推算，也不把自己束缚在古人陈腐的思想中。可以说，祖冲之批判地接受了前人的学术遗产，并勇于提出自己的新见解，这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。
在数学领域，祖冲之师承的是比他早两百多年的魏晋时期的刘徽，后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。由圆面积计算公式
，容易得知，只要求得圆的面积，再除以半径的平方，即为圆周率。而如何求圆面积，刘徽在《九章算术》的注释里这样写道，
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
刘徽从圆内接正六边形开始计算面积，依次将边数加倍，求出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等等的面积。随着边数的增加，内接正多边形的面积越来越接近圆的面积，圆面积和圆周率的精确度就越高。
在古代，包括中国和巴比伦在内的一些民族，都把3作为圆周率。这方面，古埃及人的计算较为准确，他们得到的圆周率为3.1。刘徽用他的割圆术，求得圆周率为3.14，这与古希腊数学家阿基米德算得的圆周率是一致的，后者比刘徽要早六个世纪。也有人认为刘徽算出了3.1416，但未有足够的证据。
祖冲之计算出的圆周率𝛑范围为：
3.1415926
即精确到小数点后7位。此外，他还得了被称为密率的
这个分数的圆周率，虽然只精确到小数点后6位，却同样让人惊叹。直到962年以后，祖冲之的圆周率才被阿拉伯统治下的波斯数学家卡西改进。卡西利用了余弦函数的半角公式，简化了计算，精确到了小数点后17位。而德国人奥托求得密率，则比祖冲之晚了一千多年。
祖冲之的成就是如何取得的？没有任何史料流传下来，因为祖冲之的著作全部失传了，而记载圆周率值的《隋书》又没有具体交代。由于当时只有刘徽的割圆术一种方法，因此，我们只能猜测祖冲之用的是同样的方法。那样的话，他需要算出圆内接正24576边形的面积，而密率（有日本学者建议称为祖率）的求得恐怕是借助于前辈天文学家何承天发明的“调日法”。
二、球体积与大明历
相比圆的面积，球（古人称为立圆）体积的计算公式更富技巧。在中国古典数学名著《九章算术》里，是按照以下比例公式来求球体积的：
显而易见，正方形面积、圆面积和圆柱体体积这三项数据是比较容易求得的。
祖冲之知道这个公式有误，他在《驳议》中写道，“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏剧疵也……臣昔以暇日，撰正众谬。”可见球体积也是祖冲之的工作，但是，四百年以后，唐代学者李淳风却在为《九章算术》所写的注文中，将这一工作归功给了祖冲之的儿子祖暅，把它作为“祖暅开立圆术”加以引述。无论如何，我们可以将此看成是祖氏父子共同的研究成果。
说起来，祖冲之父子的这一成就，也是在刘徽的工作基础上完成的。刘徽首先发现上述比例的错误，并提出“牟合方盖”的新概念，这是垂直相交的两个同样直径的圆柱体的共同部分。在上述比例公式中，刘徽用牟合方盖体积来代替圆柱体体积，即得
这个思想和方法是正确的，可惜的是，刘徽本人求不出牟合方盖的体积。这一步是由祖氏父子完成的，他们把牟合方盖以外的部分分成三块，称为“外三棋”，经过适当的调整、拼贴，求得那部分占立方体体积的三分之一。那样一来，牟合方盖的体积自然占了三分之二。再利用上述比例等式，便可求得球体积公式为：
不难想象，当年祖冲之父子得到这个公式时，是何等的喜悦和激动。可是，他们有所不知的是，这个公式早在公元前3世纪就有了，它同样得自于有着“数学之神”雅称的古希腊数学家阿基米德。
除了数学领域，祖冲之在天文学方面也有成就。经过实际观察，他发现何承天制定的为当时刘宋王朝所采纳的元嘉历有不少错误。例如，冬至时太阳所在宿度距实测已差三度，冬至、夏至时刻已差一天，五星（金木水火土）的出没时间更是相差40天。于是，祖冲之便动手编制了新的历法——《大明历》，这是那个时代最准确的历法。
公元462年，33岁的祖冲之上表孝武帝刘骏，请他对新的历法进行讨论。不料，却遭到皇帝宠幸的大臣戴法兴的反对。朝中百官惧怕戴的势力，多有所附和。祖冲之理直气壮，勇敢地进行了辩论，并写下了著名的《驳议》呈送皇帝。文中有他的两句名言，“愿闻显据，以核理实”“浮辞虚贬，窃非所惧”。这场辩论反映了进步与保守、科学与反科学两种势力的斗争，这也是科学的每一次进步常会遇到的。
由于种种阻碍，直到半个世纪以后，已经过了刘宋王朝和萧齐王朝，终于在梁朝天监九年（510年），由于祖暅的坚决请求，再经过实际天象的校验，大明历才得以“甲子元历”之名正式颁行，那时祖冲之已去世10年了。“甲子元历”引入了“岁差”的概念，把旧历中每19年闰7年改为每391年闰144年，使得一年的误差仅50秒。直到宋代，才有更好的历法出现。
三、指南针和千里船
除了数学和天文学方面的工作以外，祖冲之还制造过各种奇巧的机械，包括指南针和千里船，同时他还通晓音律，堪称毕达哥拉斯式或阿基米德式的博学多才的科学人物。指南针的名称在我国由来已久，但其机制构造均未见流传。据说三国时期的大发明家马钧曾制造出指南针，但到晋时早已失传。
说到马钧，他是陕西兴平人，不善言辞，还口吃，有点像16世纪那位给出三次方程一般解的意大利人塔尔塔利亚。除了指南针，他还奉诏制木偶百戏，民间称“水转百戏”。又改造了织绫机，将工效提高了四五倍。马钧还改良了用于农业灌溉的龙骨水车，以及由诸葛亮发明的军事机械连弩，后者是一种可以连续射箭的装置。
据说，东晋末年，南朝刘宋的开国皇帝刘裕攻入十六国时期后秦的首都长安，得到的许多器物中就有指南针，但“机数不精，虽曰指南，多不审正，回曲步骤，犹须人功正之”。南朝最后一个皇帝顺帝在位时，辅政的萧道成“使冲之追修古法。冲之改造铜机，圆转不穷而司方入如一，马钧以来未有也。”
除了指南针，祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马，乃造一器”，此器“不因风水，施机自运，不劳人力”。但因缺乏图像资料，我们无法想象这是何种机械。不过，祖冲之“又造千里船，于新亭江试之，日行八百里”。显然这是一种快船，却不知新亭江在何处？是否是长江上的一段呢？他又“于乐游苑内造水碓磨，武帝（齐武帝，483-494年在位）亲自临视”。
祖冲之的成就不仅限于自然科学方面，他还精通乐理、对于音律很有研究。有史料记载，“冲之解钟律博塞当时独绝，莫能对者”。（注：以上诸引言出自《南齐书》或《南史》中的《祖冲之传》。）另外，祖冲之还著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等哲学著作，可惜与他的数学书一样均已失传。他的文学作品有《述异记》，在宋代的类书《太平御览》等古籍中，尚可以看到此文的片断摘录。
在祖冲之生活的年代，算盘尚未发明，人们使用一种叫算筹的计算工具，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等材料。计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大，筹算计算一次就要用笔记下结果，这样就无法得到直观的图形和算式。因此只要有差错，就只能从头开始。祖冲之精益求精，反复筹算，才求得圆周率的精准数值。
至于祖暅，他的生卒年代不详，只知他曾任太府卿，这是南朝设置的掌管金帛财帑的官职。由于受家庭尤其是父亲的影响，祖暅从小就对数学有浓厚的兴趣，祖冲之的《大明历》便是在祖暅三次建议的基础上完成的。祖冲之的代表作、曾列入唐代数学教科书并流传朝鲜和日本的《缀术》经学者们考证，有些条目系祖暅所作。至于球体积的计算公式，则应该是祖暅一生最具代表性的发现（如果是他发现的话）。
纵观祖冲之父子的两项主要数学成就，因为阿基米德早已给出球体积计算公式，圆周率方面的工作更为世人称道。但那就像体育比赛的记录一样，是为了被人打破而出现的。自从有了无穷级数的表示法和计算机，圆周率的人为竞争便失去了意义。个人认为，南宋数学家秦九韶的两项成就——中国剩余定理和秦九韶算法更有意义，也更重要。但圆周率的结论和故事无疑更容易被普通人了解，也更符合国人的英雄想象。
作者简介
蔡天新：浙江大学教授，诗人、随笔家，近作有《数学传奇》《数之书》《里约的诱惑：回忆拉丁美洲》《轻轻掐了她几下》等。
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