菲尔兹奖得主广中平祐：“微分”是抽象化，“积分”是具体化

在数学领域， 过于抽象的概念同样很难理解，就算逻辑上是正确的也无法理解。 这时，只有通过具体问题表现出来，才能真正让他人理解。

比如我已经在上文中介绍过数学领域有“群论”这个分支。 从“群”这一元素的集合中选出元素，考察它们之间存在怎 样的关系，能够如何组合，这便是“结构”。 但是这种抽象的定 义很难理解。

那么让我们尝试将抽象群用选择出来的具体空间运动来表 现，比如平面旋转。 这时，抽象群就成了通过选择得到的具体运 动群，得到了具体的表现。

数学中的表现是指将一个概念用具体清晰的情况重新表达。 可以说我们数学家的工作，就是在重复“抽象→表现→抽象→表 现”这一脑力劳动过程。

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A 除以 B，会产生既不是 A 也不是 B 的另一个概念

“微分”也是象征化的方法之一，是一种“通过不断舍弃各 种具体条件，最终得出一项定律”的数学语言。

举例来说，假设从地点 A 出发沿着某条路线前进，到达地点 B 需要花费一定的时间。 这时必须描述很多条件，比如通过的路 线是什么样的，距离是多少，最终花费了多少分钟……

将这些条件进行微分后就得到了“速度”的概念。也就是 说，用距离除以时间得到的是速度。 当我们说“以某速度前进” 时，就不需要一一解释 A 地点、B 地点的位置和每一段路程花 费的时间，对于了解两个地点和路径的人，只需要说出速度就够 了。 接下来，沿着不同的路径从 C 到 D 时，“速度”概念是共通 的，只需要给出“用和之前同样的速度”，或者“速度是之前的 2 倍”等条件，就能计算出需要花费的时间。

有了速度的概念，只要知道到达 B 地点的时间，就能计算出 应该何时从 A 地点出发，像这样将其应用在具体问题中。 “速度”概念舍弃了出发点、终点和两地距离等要素。 舍弃 这些要素，就可以找到适用于各种情况的概念。 这就是“微分的 思考方法”。

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当具体条件消失时，定律就出现了

再举一个“重力”的概念。所有物体都受到固定的向下的 力，这是普遍的概念，这里的“重力”可以换成“加速度”，这 同样是“微分”思维。

重力的性质是它作用于一切物体。无论将物体朝正下方扔出 还是斜着抛出、向上抛出，物体都会产生方向朝下、数值固定的 加速度，最终落向地面。 适用于所有场景、与投掷方向等具体条 件无关的，就是“物体受到向下的力”。

将微分作为一项计算技巧学习的人应该知道，“常数”的微 分结果为零。 一次函数自变量进行两次微分计算后为零，图像为 抛物线的二次函数进行三次微分后同样为零。

微分就是对方程式进行适当的变形，重复多次后，各种常数 会不断变成零消失。 各种常数就是“具体条件”，当它们变成零 后，最终剩下的就是具备普遍性的定律。

要想得到速度，需要用距离除以时间，但速度既不是时间也 不是距离，而是另一个完全不同的概念。 因此可以说，“微分”就是通过除法运算进行的抽象化 操作。

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积分是实践过程中的具体操作

那么“积分”是什么呢？它是与微分相反，通过乘法运算得 出的概念。

举一个更普遍的例子。通常情况下，优质的教育能够培养出 优质的人才，这是微分的思考方法。 将这个思考具体化，比如 “为了进入东大，要考入滩高”“以这个人的能力要想考入滩高， 需要在考试前几个月按照一定顺序学习以下内容”，会产生以上 这样具体的思路。 这就是积分的思考方法。

像松下幸之助这样了不起的人物，尽管他没有接受过完整的 学校教育，却拥有比毕业于东京大学的人更加完整、自洽的人生 观和世界观。 也可以说他在从事商业活动的过程中，接受了优秀 的社会教育。

用微分的思考方法来解释，可以得出以下结论，即无论有没 有上过好学校，优秀的教育都能培养出优秀的人才。 用积分的思 考方法来解释，则会拘泥于具体方式，比如要上东京大学、滩高 等一流高中，这样就会想不到其他路径。

当然在实际行动中，只有大原则往往派不上用场，必须用积 分的思考方法提出各种条件，落实到具体行动中。 不过，如果有 以东京大学为目标这个笼统的结论能激励大家努力学习，产生较 好的效果，也不失为一种正确的方式。

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首先进行微分，然后进行积分

听到教育家和评论家标榜“教育应该如何如何”的论调时， 家长就算心里理解和接受，在实际套用在自己的孩子身上时，必 须用积分的思考方法将理论分解为具体思路。 如果家长没有做积 分的能力，就只能佩服别人提出的教育理论。 也就是说，微分是 将事物抽象化，发现大原则； 积分则是在实践过程中将事物具体 化。 这两种思考方法在重要性上不分上下，是需要同时具备的两 种能力。

如果说教育家、评论家的工作是微分，那么实际接触孩子的 老师和家庭就需要完成积分的工作。 如果不理解微分（原则）， 应对变化的能力就会退化。 父母往往容易只关注积分，将具体措 施误以为是大原则，这会导致他们在失败时无法做出改变，在不 知不觉中逐渐积累偏见和错觉。

当我们面对能够影响未来的决定时，首先进行微分（抽象 化）思考，然后进行积分（具体化）思考，这样就能厘清思路。