黎曼猜想和哥德巴赫猜想有什么联系？

所谓的黎曼 函数是无穷级数 在 这大半个复平面上的 解析延拓 （analytic continuation）.因为在 这里上述级数是不收敛的，1859年德国数学家 伯恩哈德·黎曼 （Bernhard Riemann）于1859年在其文《论小于给定数值的素数个数》中首先找到了如下的解析延拓 可以证明，在上述解析延拓中除了在 处有一个简单的极点（simple pole）外，在整个复平面上是处处解析的，即所谓 亚纯函数 （meromorphic function）.通过上述表达式可以证明，黎曼 函数满足下列函数方程 首先可以从上述表达式中看出黎曼 函数在 （ 是正整数）出取值为0，是为平凡零点（但要注意一点解析延拓后的表达式与原来的级数表达式已然不同，所以你不能简单地令 然后说 这毕竟是很多民科“引以为豪”的结果）.黎曼发现 函数除了有上述平凡零点外也有无穷多 非平凡零点 （non-trivial zero），这些零点的性质远比平凡零点来得复杂，黎曼经过研究后提出日后成为数学界最为艰深的猜想——黎曼猜想： 黎曼 函数所有非平凡零点均位于复平面 的直线上 学界称这条直线为 临界线 （critical line）我们可以很容易地从上面函数方程中看出来黎曼 函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他强大的直觉猜测很有可能 函数所有非平凡零点都是在临界线上的（不过后来事实证明黎曼自己确实是算过一些零点的数值的）。为了对 函数进一步研究，黎曼引入了辅助函数 容易发现 函数的零点恰好便是 函数的非平凡零点（因为 是 极点，所以也就不是 函数的零点了），也就是说 函数像一个细密的筛子将 函数的所有非平凡零点从其零点中筛了出来。利用复变函数的知识黎曼证明了 这下子对称性就变得尤为明显了。我们记 为 函数的零点便有 这里 与 总是配对出现的。需要注意的一点，上述连乘积展开对于有限多项式虽是显然，但对这种无穷乘积却不总是成立的，这背后蕴含着极其深刻的原因。直到1893年阿达马（Hadamard)对以 为代表的整函数（entire function）进行系统研究之后，才完完全全证明了黎曼这个表达式。       利用 函数黎曼研究了零点分布并且提出以下三个猜测：

猜想一： 在 的区域内， 的零点数目约为

猜想二： 在 的区域内， 在临界线上的零点数目也约为

猜想三： 的所有零点均在临界线上.       可以看出，黎曼的三个猜测是呈阶梯一般不断增强的，而最后一个便是大名鼎鼎的黎曼猜想。需要指出的是，除了猜想三黎曼确确实实承认自己证不出来外，猜想一、二都被黎曼认为是简单的（但他并没有给出完整证明，鉴于黎曼的人品，黎曼极有可能确实证明了这两个猜测）。不过随便举个例子你们感受一下这三个猜想的分量，最简单的猜想一直到黎曼的论文发表46年后才被证明；次简单的猜想二直到现在也没被证明，它强于所有已经取得的结果；至于猜想三嘛，呵呵……

二、黎曼 函数与素数分布

熟悉初等数论的人都知道欧拉（L.Euler）在1737年发表的一个著名公式 其中 遍历所有素数.借由这个公式，我们便将黎曼 函数与素数紧密地结合在一起，换句话说：黎曼 函数解密了素数的结构。（By the way，利用这个乘积可以很简单地证明素数有无限个）利用欧拉的这个公式做引子，黎曼证明了如下结果 这里 ，其中 为不大于 的素数个数.利用分部积分，黎曼得到 这下子联系就比较露骨了，左边是万能的 函数，右边是与素数分布直接相关的 ，那么接下来要做的便是解出 ： 而利用简单的莫比乌斯反演（Mobius inversion）可以得到 这样我们就把素数分布函数 完完全全蕴含在黎曼 函数之中.

三、素数定理

对素数规律的探求一直是数论领域的核心问题。对于 ，高斯（Gauss）有如下猜想： 独立于高斯，勒让德（Legendre）也有如下猜测： 容易看出，这两者是等价的（不过我一直好奇1.08366是怎么找出来的……），共同被称为素数定理.       1896年，阿达马与普桑（de la Valee Poussin，这名一看就是上流社会）分别独立证明了黎曼 函数在 上没有零点，进而证明了素数定理。这当然是一个辉煌的成就，素数定理被证明之后，人们普遍希望能得到一个有精密误差项的估计。可以证明高斯的公式比勒让德的公式要精密得多（废话，气质就不一样，一个高富帅，一个土老帽……）。在黎曼猜想成立的假设下，人们证明了 反之，从这个公式也可以推出黎曼假设是对的，也就是说两者是等价的。（黎曼假设还有一个很有意思的等价命题：对所有的 ， 其中 ，等价性由Jeff Lagarias证明）

四、广义黎曼假设（GRH）

即使研究黎曼猜想受阻，但依然拦不住数学家们想要高飞的心。所谓的广义黎曼猜想，就是黎曼猜想的2.0版本，不过其研究对象由黎曼 函数变成了更具广泛性的狄利克雷（Dirchlet） 函数。所谓狄利克雷 函数指级数 在 上的解析延拓，其中 是狄利克雷特征，称此函数为模 的狄利克雷 函数.今人有如下之猜想： 所有 的非平凡零点都位于临界线上 显然，这个比黎曼猜想牛b多了，当然也难证多了。现代数论研究中，多以GRH为假设进行讨论，与黎曼假设类似，GRH可以推出：当 ，令算术序列 中不超过 的素数个数为 ，则有 同样的，这个公式反过来也能推出GRH.