《普林斯顿数学指南》（三卷本）已在赛先生书店上架，价格优惠，全场免邮，转发+评论还有免单机会！点击文章底部“阅读原文”购买此书。
罗素(Bertrand Russell)在他所写的《数学原理》(The Principle of Mathematics)中给出了纯粹数学的以下定义：纯粹数学就是所有形如“p蕴含q”的命题的集合,这里p和q是含有相同的一个或多个变项的命题，而且除逻辑常项以外不含其他常项。这些逻辑常项全都可以用下述概念来定义：蕴含、项对于类的“为其元素”的关系、使得的概念、关系的概念，以及上述形式命题的一般概念中可能包含的其他概念。除此以外，数学还使用一个概念，但它不是其所考虑的命题的成分，这就是真理的概念。
《普林斯顿数学指南》可以说是罗素的定义所没有包含的一切东西的全讲。
罗素的《数学原理》是1903年出版的，当时有许多数学家全神贯注地研究这门学科的逻辑基础。现在，一个多世纪已经过去了，如罗素所描述的那样，把数学看作一个形式系统，这一点现在也不再是一个新思想，而今天的数学家更关心的是别的事。特别是在有这么多数学结果问世的这样一个时代，不同的数学家对于哪些东西才有意思会有不同意见。《普林斯顿数学指南》远不如罗素的书那么形式化，它的许多作者各有不同的观点。《普林斯顿数学指南》并不试图对于“是什么使得一个数学命题有意思”给出准确的答案，而是只想向读者提供一些很大的具有代表性的例子，使他们知道数学家们在21世纪开始的时候为之拼搏的思想是什么，并且以尽可能吸引人及能够接受的方式来做这件事。
《普林斯顿数学指南》的中心点是现代纯粹数学。“现代”一词如上面所说，只不过是说本书打算对于现在数学家们在做什么给出一个概念。一个领域可能在20世纪中叶发展比较迅速，现在达到了一个比较固定的形式，那么人们对它的讨论比之对现在快速发展中的领域就会少一些。然而，数学是有历史的：要理解一点现代的数学，通常就需要知道许多早就发现了的观念和结果。《普林斯顿数学指南》讲了大量的历史，尽管把这些历史包括进来的主要原因是为了说明今天的数学。
“纯粹”一词就更麻烦一些。许多人曾经评论过，在纯粹与应用数学之间并没有清楚的分界线，而且正如对现代数学要有一个适当的理解，就需要一点其历史的知识一样。对纯粹数学要有一个适当的理解，就需要一点应用数学和理论物理的知识。这些领域曾经为纯粹数学提供了许多基本的观念，而由之产生了纯粹数学的许多最有趣、最重要、当前又最活跃的分支。本书对于这些其他分支对纯粹数学的影响肯定不能视而不见，也不能忽视纯粹数学的实际和心智的应用。然而《普林斯顿数学指南》的范围比它应该的那样要更加狭窄一些。有一个阶段，打算为《普林斯顿数学指南》起一个比较准确的书名，叫做“普林斯顿纯粹数学指南”，不采用它的唯一原因是觉得现在的书名更好一些。
在《普林斯顿数学指南》尚未出现以前，Roger Penrose所写的《通向现实的道路》(The Road to Reality) (New York: Knopf, 2005)一书包含了数学物理学的很广泛的论题，而且是按照与本书很相近的水平写的, Elsevier最近也推出了五卷本的《数学物理学百科全书》(Encyclopedia of Mathematical Physics)(Amsterdam: Elsevier, 2006).
《普林斯顿数学指南》不是一部百科全书。如果您想找出一个特定的数学概念，就不一定能在这里找得到，哪怕它是一个重要的概念，虽然说，如果它越重要，就越有可能被收入本书。《普林斯顿数学指南》倒有点像是真有一个人对读者在作“指南”：这个人在知识上有漏洞，对于某些主题在看法上又不一定与众人相同。虽然许多主题并未包括在书中，但是已经收入的范围还是很广泛的（比起您对真有其人作“指南”所能合理希望的要广泛得多）。为了达到这种平衡，《普林斯顿数学指南》在某种程度上是以一些“客观的”指标为导引的，例如美国数学会的数学主题的分类，或者四年一届的国际数学家大会上对数学分类的方法。大的领域如数论、代数、分析、几何学、组合学、逻辑、概率论、理论计算机科学和数学物理，本书都是有的，但是它们的各个子分支就不一定都有了。关于选择哪一些主题收入本书，每一个主题要写多长，不可避免地并非某个编辑的规定所能决定的，而是取决于某些高度偶然的因素，例如谁愿意写，在同意写以后是谁实际交了稿，交来的稿子是否符合规定的字数等等。
《普林斯顿数学指南》也不同于一部百科全书，即本书是按主题排列，而不是按字母顺序排列的。这样做的好处是，虽然各个条目可以分开来阅读，却也可以看作是一个和谐的整体的一部分。说真的，这本书的结构是这样的，如果从头到尾地读，虽然会花费太多时间，却也不是好笑的事情。
《普林斯顿数学指南》分成了八个部分，各有其总的主题和不同的目的。第Ⅰ部分是引论性质的材料，对数学给出一个总的鸟瞰，并且为了帮助数学背景较浅的读者，解释了这个学科的一些基本的概念。
第Ⅱ部分是一组历史性质的论文，目的是解释现代数学的极具特色的风格是怎样来的。广泛地说，就是解释现代的数学家在其学科中的思维方式与200年前（或者更早）的数学家的思维方式有哪些主要的区别。有一点区别在于，对于什么算是证明，现代有了大家都能接受的标准。与此密切相关的是这样一件事实，即数学分析（微积分及其后来的扩张和发展）已经被放置在严格的基础上了。其他值得注意的特点还有数的概念的扩张、代数的抽象性，另外，绝大多数现代几何学家研究的是非欧几何，而不是更加熟悉的三角形、圆、平行线之类。
第Ⅲ部分由一些较短的条目组成，每一条讨论一个在第Ⅰ部分中未曾出现的重要的数学概念。目的是：如果有一个您不知道但又时常听人说起的概念，本书这一部分就是一个查找的好地方。要想懂得一个概念，人们总会希望知道它直观地是什么意思，它为什么重要，而第一次引入它是为的什么。特别是如果它是一个相当广泛的概念，人们就会想知道一些好的例子——既不太简单，又不太复杂。事实上，很可能提出并且讨论一个选择得很好的例子，正是这篇文章需要做的事情，因为一个好例子比一个一般定义好懂得多，而一个比较有经验的读者能够从抽取这个例子里面重要的性质来写出一般定义。
第Ⅳ部分是关于数学的不同领域的26篇文章，它们比第Ⅲ部分的文章要长得多。第Ⅳ部分的每一篇典型的文章都是为解释它所讨论的领域的某些中心思想和重要结果，而且要做得尽可能不太形式化，又得服从一个限制，就是不能太模糊，以至不能提供信息。对于这些文章，原来的希望是写成“床头读物”，就是既清楚又很初等，不必时而停下来思考就能读懂它们。所以在选择作者的时候，有两个同等重要的优先条件：专业水平和讲解的本事。但是，数学不是一门容易的学科，所以到了最后，我们只好把原来定的完全可接受性看成是一个要为之努力的理想，尽管在每一篇文章的最小的小节里未能完全达到。但是，哪怕这篇文章很难读，它的讨论比起典型的教科书来也会更清楚，更少形式化，这一点时常做得相当成功。和第Ⅲ部分一样,好几位作者是通过观察有启发性的例子来做到这一点的，例子后面有的接着讲更一般的理论，有的则让例子本身说话。第Ⅳ部分有许多文章包含了对于数学概念出色的描述。
第Ⅴ部分是第Ⅲ部分的补充，它也是由重要数学主题的短文组成的，但是现在这些主题是数学中的一些定理和未解决的问题，而不是基本对象和研究工具。和全书一样，第Ⅴ部分里条目的选择必定远非全面，而是在心目中有一些准则。最显然的一个准则是它们在数学中的重要性，但是有些条目的选择是因为可以用一种使人愉快的又容易接受的方式来讨论它们，还有一些是因为它们有不平常的特殊之处。
第Ⅵ部分是另一个历史部分，是关于著名数学家的。它由一些短文组成，每一篇的目的是给出一些很基本的传记资料（例如国籍和生卒年月），并且说明这位入选的数学家何以是著名的数学家。主要限于已经去世而且主要是由于1950年以前的工作而著称的数学家。比较晚近的数学家因为在另外的条目里也会提到，当然也就进入本书了。对他们没有专门列条目，但是在索引里看一看，就会对他们的成就有个印象了。
第Ⅶ部分最终展示了数学从外界得到的实用上和心智上的推动。这部分里面是一些较长的文章，有一些是由具有跨学科兴趣的数学家写的，有些则是由使用了很多数学的其他学科专家写的。
本书的最后一部分包含了对于数学的本性和数学生活的一般的反思。这一部分里的文章，比前面较长的文章，总体上说要好读一些，所以尽管第Ⅷ部分是本书的结尾，有些读者也可能从它们开始来读本书。
各部分里面文章的次序，在第Ⅲ部分和第Ⅴ部分是按字母顺序排列的，而第Ⅵ部分则按年代排列。按生卒年月来安排数学家传记，这个决定会鼓励读者从头到尾地读，而不是选择单篇地读，以获得对于这门学科的历史感；它会使得读者对于哪些数学家是同时代人或者近乎同时代人，要清楚得多。如果读者费一点心，在考察一位数学家的时候，猜想一下他（或者她）的出生年月和其他数学家的出生年月相对关系如何，就会得到一点虽然很小但又很有价值的知识。
《普林斯顿数学指南》原来的计划是要求对于任何具有良好的高中数学背景（包括微积分）的读者都是能接受的。然而，很快就变得很明显，这是一个不可能实现的目标：有一些数学分支，对于至少知道一点大学水平数学的人来说就非常容易，而企图向水平更低的人们来解释，就没有什么道理了。另一方面，这个学科也有一些部分，肯定能够对于没有这个额外经验的读者解释清楚。所以，我们最后放弃了这本书应该有一个统一的难度水平的想法。
然而，可接受性仍然是我们最优先的考虑。在全书里，我们都力求在实际上可以做到在最低水平上来讨论数学思想。但是我们希望所有具有高中以上水平的读者都能享受本书的很实在的一大部分。
如果您读完了大学数学课程，就可能会对做数学研究有了兴趣。研究工作究竟是怎么回事？大学本科课程，在典型情况下，极少能让您了解。那么，您怎么才能决定数学的哪一个领域在研究工作水平上确会使您有兴趣？这件事并不容易，但是您做的决定会产生极大区别：要么您会幡然醒悟不搞数学了，而博士学位也不要了，要么您会继续在数学里走向成功的生涯。这本书，特别是第Ⅳ部分，会告诉您，不同类型的在研究工作水平上的数学家想的是什么，从而可以帮助您在更加知情的基础上做出决定。
如果您已经是一个站住脚的数学家，这本书对于您的主要用处可能是：它将帮助您更好地理解您的同事们其实在做什么事情。绝大多数非数学家，当他们知道数学已经变得多么异乎寻常的专业化时，都会非常吃惊。近年来，一个很好的数学家可能对于另一位数学家的论文完全看不懂，哪怕二者的领域相当接近，这并不是很罕见的事，但这不是健康的状况。做任何一件改善数学家之间的交流的事情都是一个好主意。本书的编者们通过仔细阅读这些条目受益匪浅，我们希望许多其他人也能获得同样的机会。
本书提供了哪些因特网未能提供的东西？《数学指南》的特性在某些方面类似于那些大型的数学网站，如维基百科的数学部分，还有Eric Weinstein的 “Mathworld”(http://mathworld.wolfram.com/)。特别是交叉引用有一点超链接的味儿。那么，写这本书还有什么必要呢?
在目前，答案是还有必要。如果您曾经试过在因特网上查找一个数学概念，就会知道这是一件碰运气的事。有时候您会找到一个好的解释，给出您正在寻找的信息。但是，时常则并不如此。上面提到的那些网址肯定是有用的，对于本书没有涵盖的材料，我们也向您推荐在这些网址里去查找。但是这些网上的文章与我们这里的条目，写作的风格大不相同：网上的文章比较枯燥，更加注重以更简洁的方法来给出基本事实，而不是注重对这些事实的反思。在网上也找不到如本书第Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅶ和第Ⅷ部分里面的那些长文章。
有人觉得把大量材料集中成书本的形式是有好处的。但是，我们在上面已经提到了，本书并不是孤立的条目的简单汇集，而是仔细排列了次序，这样编纂出来的所有的书，都必定有线条形的构造，而这是网页所没有的。一本书的物理性质又使得翻阅一本书和在网上漫游是完全不同的体验：读过了一本书的目录，对于全书就能找到一点感觉；而对于一个大的网站，您只能对正在读的那一页有点感觉。并不是每个人都同意这一点，或者觉得这是书本形式的一个很值得注意的优点，但是许多人无疑会觉得如此,而本书就是为这些人编写的。
投稿、授权等请联系：[email protected]
您可回复"年份+月份"（如201510），获取指定年月文章，或返回主页点击子菜单获取或搜索往期文章。
赛先生由百人传媒投资和创办，文小刚、刘克峰、颜宁三位国际著名科学家担任主编，告诉你正在发生的科学。上帝忘了给我们翅膀，于是，科学家带领我们飞翔。
微信号：iscientists
▲
长按图片识别二维码关注我们
