一文带你搞懂相机内参外参(Intrinsics & Extrinsics)

1 相机内参

在左图中，我们把相机看作是针孔，现实世界中的点P经过相机的光心O，投影到物理成像平面上，变为点P'。

在右图中，对这个模型进行了一个简化，将其看作是一个相似三角形。

下面我们来对这个模型进行建模。

设O-X-Y-Z为相机坐标系，习惯上我们把z轴指向相机前方，x向右，y向下。O为摄像机的 光心 ，也是针孔模型中的针孔。

设真实世界点中的P的坐标为 ，成像的点P'的坐标为 ， 物理成像平面和光心的距离为f（即为焦距）。

根据右图中的三角形相似关系，有：

其中，有负号是因为坐标轴方向，也就表示了成的像是倒立的。

为了表示起来更方便，我们把成像平面从相机的后面对称到前面去，如下图所示。这样，负号就没有了。

在对称后，有：

整理解出P'的坐标：

上面两个式子就描述了P点与它所成像的坐标关系，可以看到，X对应的X'与焦距f有关，与距离Z有关。

映射到成像平面上还不够，我们还需要将这个像给放到像素坐标系内。

我们设在物理成像平面上固定着像素平面O-U-V。

设P'在像素平面坐标系上的坐标是 。

像素坐标系 通常定义方式是：原点o'位于图像的左上角，u轴向右与x轴平行，v轴向下与y轴平行。

我们设像素坐标在u轴上缩放 倍，在v轴上缩放了 倍。同时，原点平移了 Cx,Cy 。

因此可以得到P'与像素坐标的关系：

代入P与P'的关系式可得：

其中，我们用 , 替换了 f 和 f 。 , 的单位是像素。

用齐次坐标，把上式写出矩阵的形式：

也可以把Z写到等式左边去，就变成了：

上式中，K即为相机的内参矩阵(Intrinsics)。通常来说，相机的内参在出厂之后就是固定的了。

2 相机外参

在上面的推导中，我们用的是P在相机坐标系的坐标（也就是以相机为O点），所以我们应该先将世界坐标系中的