深度！图解神经网络的数学原理

使用框架搭建 神经网络

首先，我会展示一种热门神经网络框架 -- Keras用来 搭建神经网络模型。

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense

model = Sequential()
model.add(Dense(4, input_dim=2,activation='relu'))
model.add(Dense(6, activation='relu'))
model.add(Dense(6, activation='relu'))
model.add(Dense(4, activation='relu'))
model.add(Dense(1, activation='sigmoid'))

model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])
model.fit(X_train, y_train, epochs=50, verbose=0)

如前面说过，只需几个导入、几行代码就能创建和训练一个模型，拿来解决分类问题几乎能达到 100% 的准确率。我们的工作归纳起来就是根据选择的模型结构，为模型提供超参数，比如网络层的数量、每层的神经元数量、激活函数和训练周期数量等等。下面我们来看看训练的过程发生了什么，可以看到随着训练过程中，数据被正确地区分开了！

有了这些框架，这的确为我们节省了大量写bugs(...) 的时间，让我们的工作也更加流程化。然而， 熟知神经网络背后的工作原理，对于我们选择模型架构、调参或优化模型都有莫大的帮助。

神经网络原理

为了更深入的理解神经网络的工作原理，本文将帮助大家理解一些在学习过程中可能会感到困惑的概念。我会尽量让那些对代数和微积分不感冒的朋友读着不那么痛苦，但是正如文章题目所示，本文主要讲数学原理，所以会谈论大量的数学，在这里先提个醒。

举个例子，我们要解决一个数据集的二元分类问题，数据集如上所示。

数据点组成了两个类别的圆圈状，要区分这个数据，对很多传统的机器学习算法来说都非常麻烦，但 神经网络可以很好地处理这个 非线性分类问题 。

为了解决这个问题，我们会使用如下图所示结构的神经网络，它有 5 个全连接层，每层有不同数量的神经元。对于隐藏层，我们会使用 ReLU 作为激活函数，在输出层中使用 S 型函数。这是个相当简单的结构，但也足够解决我们的难题了。

什么是神经网络？

我们首先来回答这个关键的问题：什么是神经网络？它是一种在生物学启发下创建的计算机程序，能够学习知识，独立发现数据中的关系。如图 2 所示，神经网络就是一系列的神经元排列在网络层中，网络层以某种方式连接在一起，从而相互之间实现沟通。

单个神经元

每个神经元会接受一系列的 x 值（从 1 到 n 的数字）作为输入，计算预测的 y-hat 值。向量 x 实际上包含了训练集中 m 个样本中一个样本的特征值。而且每个神经元会有它自己的一套参数，通常引用为 w（权重的列向量）和 b（偏差），在学习过程中偏差会不断变化。在每次迭代中，神经元会根据向量 x 的当前权向量 x 计算它的加权平均值，再和偏差相加。最后，计算的结果会传入一个非线性或函数 g 中。我在下面会提及一些最常见的激活函数。

单个网络层

现在，我们把范围缩小一点，思考一下神经网络的整个网络层是怎么进行数学运算的。我们会利用单个神经元的计算知识，在整个层中进行向量化，将这些计算融合进矩阵方程中。为了让数学符号一致，这些方程会写给选定的网络层。另外，下标的 i 符号标记了这一层的神经元顺序。

还有一件重要的事：在我们为单个神经元写方程时，我们使用 x 和 y-hat，它们分别表示特征列向量和预测值。当换成网络层的通用符号时，我们使用向量 a —— 意指对应网络层的激活。因此 x 向量是网络层 0（输入层）的激活。网络层中的每个神经元都按照如下方程式执行相同的运算：

让大家更清晰的看看，我们把第 2 层的公式写下来：

你可以看到，对每个网络层，我们必须执行一系列非常相似的运算。在这里使用 for 循环并不是非常高效，所以我们换成向量化来加快计算速度。首先，将权重 w 的水平向量堆放在一起，我们创建矩阵 W。同样地，我们将网络层中每个神经元的偏差堆放在一起，创建垂直向量 b。现在，我们可以顺利地创建一个矩阵方程式了，从而一次性计算该网络层的所有神经元。我们同样写下来用过的矩阵和向量的维度。

多个例子中的向量化

我们迄今所用的方程式只涉及了一个例子。在神经网络的学习过程中，你通常要处理大量的数据，最高可达数百万条。所以下一步就是在多个例子中实现向量化。假设我们的数据集有 m 个条目，每个有 nx 个特征。首先，我们将每一层的垂直向量 x，a 和 z 放在一起，分别创建矩阵 X，A 和 Z。然后，我们根据新创建的矩阵，重新编写之前列出的方程式。

什么是激活函数？我们为何需要它？

激活函数是神经网络中最重要的部分之一。 没有激活函数，我们的神经网络就只是一些线性函数的组合，那样无非就是个线性函数而已 。如果是这样，模型的扩展性就很有限了，比逻辑回归也强不到哪去。非线性部分能让模型有更大的灵活性，在学习过程中也能创建复杂的函数。

此外，激活函数对模型的学习速度也有重大影响，而学习速度是选择模型的主要标准之一。下图显示了一些常用的激活函数。当前，隐藏层中最常用的激活函数应该是 ReLU。在处理二元分类问题时，特别是想让模型返回在 0 到 1 之间的值时，我们有时也会使用 S 型函数，特别是在输出层中。

损失函数

学习过程中基本信息源就是损失函数的值。通常来讲，使用损失函数的目的就是展示我们离“理想”情况的差距。在我们这个例子中，我们使用了二元交叉熵，但根据我们处理的具体问题，可以使用不同的函数。我们所用的函数用如下公式表示，在学习过程中它的值的变化情况可视化动图如下。它显示了每次迭代中，损失函数的值在不断下降，准确度的值也不断增加。