射影几何模型的应用：彭罗斯扭量理论丨展卷

撰文 | 托尼·罗宾

翻译 | 潘可慧 潘涛

校译 | 潘涛

空间真的是由无量纲点 （dimensionless points） 组成的吗？高中数学和常识说它是，但有另一种数学和常识说之前就错了。为了说明常识的谬误，爱因斯坦举了一个椅子被推到舞台上的例子。常识认为，推力移动椅子，因为当推力停止时，椅子就停止。原因和结果再清楚不过了。但是，你可以猛推一把椅子，这样它就会在没有人推的时候继续移动。这个小小的反例，给常识带来了难题。对此反例的长期考虑最终导致了对摩擦力的研究 （牛顿第一定律指出，运动中的物体继续运动直到停止） ，这导致了对行星围绕太阳的运动的理解。物理学家罗杰· 彭罗斯也以类似的方式关注了直线有时是点这一表观佯谬。围绕这一佯谬的研究，他得出了一个全新的空间概念，并有希望将物理学各个独立的、看似不可调和的分支统一起来。

光 锥

在开始考察彭罗斯佯谬 （Penrose’s paradox） 前，请先考虑 光锥 （light cone） ，它是所有聚集在时间和空间点上的光的一部分。此外，在当前时刻，光的闪光从一个特定的位置扩展，而作为向外传播的光线的前缘的球面形成了光锥的上半部。因为很难想象四维图形，所以惯例是把光锥画成双尖纸帽，其中的圆圈代表光的球面，两条边代表光的时间流逝的历史。对于许多讨论点，在较低维度情况下的推理与在较高维度的情况下的推理是相同的，且绘图更容易。

“夹点”表示空间中某一特定位置的当前时刻。沿着光锥的垂直时间轴传播，就是在时间流逝时停留在原地；沿水平轴传播是随时随地，以无限的速度运动。这些轴可以校准，这样垂直轴上的一个滴答等于 1 秒，而水平轴上的一个滴答等于 300,000 米。通过这种校准，在 45 度对角线上运动就是以光速传播 （图1） 。

图1 光锥。对轴进行校准，使光速以 45 度线表示

因为面朝下的光锥是由所有在特定时刻特定位置聚集在一起的光线组成的，所以观察者在这个夹点所能知道的就是锥内的信息。在内部，慢于光速的光线就可以到达观察者；在外部，光线或信息的传播速度必须比光速更快才能到达观察者，这是不可能的。因此，面朝下的光锥代表因果过去。同理，面朝上的光锥从那时起就描述了在那个地方因果未来的所有可能性。光锥表面则代表恰好以光速行进的光线或信息 （图 2） 。

彭罗斯指出，这类光锥图产生一个佯谬：“点 Q 坐标t， x， y， z距原点的 闵可夫斯基距离 OQ，由OQ ² =t ² -x ² -y ² -z ² 给出。注意，如果O位于 O 的光锥上，则 OQ ² =0。” （Penrose 1978，111 页） 光子 （光被认为是粒子的基本单位） 本身，按照定义以光速行进，它的产生位置与其消灭位置之间根本没有距离，这两个事件之间也没有时间间隔。光子无处不在，它将在同一时刻出现。对于某些观者来说，过去、现在和未来可能有区别，但就光子而言，这一系列有序的点之间没有任何距离。直线有时也必须是点。为了准确地表示这种事态，光锥必须重新绘制，使其中的一些直线只是点，也就是使面朝下光锥的圆形底座和面朝上光锥的圆形底座不被任何距离隔开。彭罗斯从它的角度表达了光线的真实情况，画了一幅画，其中两条光线在一个球面上变成了两个点，其长度被缩小为零 （图 3） 。

要使这一论证具体化，需考虑一个在恒星 4.3 光年之外的核爆炸中产生的光子，它被眼睛吸收并转化为化学能时，就结束了它的存在。其路径长度约为 4.06×10 ¹³ 米。但是，如果某人以非常高的速度行驶，那么这条路可能只有原来的一半长；在 95% 的光速下，这条路只有原来距离的 30%。

考虑那个著名的双生子例子，如果一个人乘坐宇宙飞船，以接近光的速度旅行，而另一个人待在地球上，这对双胞胎的年龄就不一样了。或者，对于那些不那么喜欢假设的物理谜语的人来说，要考虑粒子加速器，当物质加速到接近光速时，放射性物质样本的半衰期实际上会根据静止时钟 （以及与其他物质相比） 减慢。狭义相对论方程所描述的扭曲是有物理实在 （physical reality） 的，光锥图必须解释这一事实。

彭罗斯的替代光锥也提供了误导的信息，因为它没有显示所有作为点的光线的球面从现在开始缩小或向外生长，就像产生闪光时的情形。包括零在内的各种长度的光线佯谬是由描述它们的空间模型产生的，如果它们被认为是空间中的直线 （line in space） ，模型中的问题就不可避免。彭罗斯的创造性飞跃，乃是意识到还有另一个几何对象可以模拟光线：射影直线 （projective line） 可以容纳光线的所有长度。 （为了保持术语清晰，我将射影几何中的线称为“射影直线”，而在其他几何学中称之为“空间中的直线”，这是强调射影直线与背景无关的 区别。 ）

从表面上看，射影直线看起来像是空间中的直线，但它却截然不同，更加丰富。在射影几何中，存在着直线和点的基本对偶论；凡是谈论其中一个，就可以谈论另一个。射影点用比率 （齐次坐标） 表示，高维空间中所有满足这一比例的点都被认为是同一点。一旦这种想象飞跃发生，射影直线就越来越准确地描述了光线。射影直线具有一系列有序的点，但是——类似于光线——它们没有确定的长度。就这一点而言，射影直线上某一范围内的点可以通过多个射影变换合法地重新排列，那些投影将一条直线投影回自身，这对于空间中的直线上的点来说则不可想象。19 世纪射影几何的成就是逐渐将射影几何从笛卡儿 x， y 网格中移除，并跟踪因不同投影而变化的测量值时，在图形中保持不变的情况。因此，并不存在网格是射影直线 （即光线） 的专有定义。

没有潜在的空间网格的事件空间的前景，对物理学家来说是很有吸引力的。一段时间以来他们一直对物理学的戏剧应该在一个预先确定的空间 （不管它如何弯曲或扭曲） 舞台上发挥出来的想法感到不爽。根据广义相对论，空间是物质的创生。根据粒子物理学，物质在空间之外产生，是从时空的虚粒子 （几乎不可能有任何物质的单位） 中冒出来的。如今弦理论提出，物质最终由一维实体组成，与任何三维物质单位相比，一维实体对纯几何的亲和力要大得多。圈量子引力 （loop quantum gravity） 比其他形式的弦理论有价值，它的发明者之一李·斯莫林 （Lee Smolin） 说，这主要是因为“我们真的可以以一种背景独立的方式来看待空间和时间，把它们看作一个关系网” （Smolin 2001，179 页） 。对于彭罗斯来说，这些关系网的单位由射影直线构建：“我们把时空认为是从属的概念，而把扭量空间——原先是光线空间——认为是更基本空间。” （Hawking and Penrose 1996，110 页） “通常的时空概念……是由扭量基本成分构造出来的。” （Penrose 2004，963页）

扭量空间

彭罗斯经常写道，想象一位观看夜空的观者，恒星的宇宙就像一个球体 （被称为“天球”或者“天图”） ，观者在其中心。另一位站在离第一位观者一段距离的观者，也看到了一个天球。通常情况下，这两个球体可以简单地通过旋转一个球体使之与另一个球体重合在一起。然而，如果第二个观者以接近光速行进，这种方法将无法奏效；球体中存在光的畸变，简单的旋转不会产生重合。例如，如果第二个观者直接从静止的第一个观者身边经过，但正以很大的速度向北极星移动，那么天球上的恒星就会被挤压到北极区；如果第二个观者经过第一个观者的一侧，天球上的恒星将被旋转到一边，然后挤压到北方。当然，运用洛伦兹变换会从另一组重新计算一组恒星位置，但是彭罗斯注意到一组更简单的变换，即莫比乌斯变换 （与莫比乌斯带没有关系） 也会获得成功。

要使莫比乌斯变换起作用，天球上的位置必须用复数重新编号：形为a +b i 的数字，其中 i 是虚数 。复数通常表示在平面上，其中第一个数 （实部） 是在水平轴上的位置，第二个数 （虚部） 是在垂直轴上的位置，完全复数是用这两个轴作为地图坐标定义的平面上的位置。这整个二维平面，代表了一组相关的复点 （complexpoints） ，可以被认为是一条复直线 （complex line） 。射影直线的行为就好像它们是封闭的，因此经常被建模成圆：左无穷大和右无穷大是一样的。“所选择的 （射影几何的） 公理非常普遍，允许坐标属于任何场：不是我们可以使用有理数的实数，而是复数。” （Coxeter 1961，231 页） 因此，射影直线需要不仅是一条实点直线，还可以是一条由复数组成的直线。若它既是复数又是射影，则直线就只有一个无穷远点。这条复线，被建模成只有一个无穷远点的平面，卷成一个球，称为黎曼球面。

对于莫比乌斯变换，天球被映射到这个数学球面上。若使用极坐标 （从球面中心的角度导出） 代替经度和纬度坐标，则计算进一步简化。这种对复数和极坐标的改变，结果是一个意想不到的好处。不仅洛伦兹变换的计算更容易进行，彭罗斯说的广义相对论中的计算也更容易进行。此外，射影空间中的复数是量子物理工作的首选数学系统；至少这两个不同的物理学分支现在可以使用同一种数学语言。

彭罗斯指出，“在基本的扭量对应中， （闵可夫斯基） 时空中的光线在 （射影） 扭量空间中用点来代表，而时空点则表示为黎曼球面” （Hawking and Penrose 1996，111 页） 。当用齐次坐标表示时，空间中的直线就变成了点。当做出射影和复时，点变成复射影直线，即黎曼球面。彭罗斯将光线射影模型的相关性与复数的便利性结合起来，构造了复射影三维空间，即扭量空间 （twistor space） 的定义 （图4） 。扭量不是无质量粒子，不像矢量是无质量粒子，但扭量是对无质量粒子可能性的描述，因此是对空间的描述 （图 5） 。在许多著作和讲座中，他对这些元素之间的有机联系感到惊讶：天球的狭义相对论洛伦兹变换也是莫比乌斯变换；莫比乌斯变换假定黎曼球面及其内含的复射影几何；光线最好模拟成射影直线。

我找到了我的空间！

射影几何学和复数的结合还有进一步的协同作用，这是一个凝聚在一起的整体，远远大于其各部分看似无害的总和。描述无质量粒子自旋的此种自然方式，就是这些令人欣喜的结果之一。

观者总是位于天球光线的中心，因为光线在当前时刻聚集在一个特定的位置上，组成观者的天图 （sky map） 。这些光线，若延续到未来，则构成未来一半的光锥，即观者的反天图 （anti-sky map） 。对于光线本身，这两幅天图被“视为等同”，意思是它们被合 （即“胶合”） 在一起因为光线的长度为零。彭罗斯谨慎地说，过去光锥和未来光锥的这个 紧化 （一个数学术语，指“系统的完成”） 只是一个数学上的“方便”，但是一个有信息的“方便”。光线穿过夹点时，它们的位置在光锥的上半部分被反转。紧化，就相当于在光线中加一个扭曲 （图 6） 。

另一种将光锥紧化的方法，是在闵可夫斯基空间 （Minkowski space） 中添加一个无穷远光锥 （图 7） 。添加一个无穷远元素，是射影几何封闭一个空间的既定技巧。这种紧化的结果，构造了复射影三维空间。彭罗斯意识到，由闭环组成的紧化光锥是三维球面 （球面的四维类似物） 的霍普夫纤颤 （一组链接的圆） 。这是一个久已为人所知的数学事实，即在三维球上的某些平行路径随着它们的推进而扭曲。彭罗斯认为，这一几何事实必须解释无质量粒子自旋的起源，尽管所有的细节还没有搞清楚。为了界定光线扭转的方向，光线的描绘必须有一个附加的结构，而这是通过添加旗子来实现的：把光线看作旗杆，把旗子看作附在旗杆上的刚性信号旗 （图8 ） 。 （旋量，即随它们推进而旋转的矢量，就是这样被描述的，而扭量则以旋量数学为基础。） 现在可以跟踪零射线 （零长度的光线） 的扭曲，并将其看作紧化的必然结果，紧化本身就是在其自身参考系中具有零长度，从而成为一个射影实体的光线的必然结果。

射影几何学与复数融合的另一个令人欣喜的结果，是时间之矢的更加清晰的画面。虽然没有什么比过去发生的事情和尚未发生的事情之间的区别更明显，但这种区别无论是从几何角度还是从物理学角度看并不明显。举一个物理学的例子，想象一下早晨的太阳使一片雾气变暖。当阳光击中雾中的水分子时，水分子会被加热，开始以渐增的能量四处运动。随着分子四处运动并撞击其他分子时，云团扩展，密度降低，直到云最终蒸发。但是，把注意力集中在水的分子反弹上，晨雾的大画面就消失了。如果只拍摄了几个分子的特写电影，人们就无法分辨电影放映是向前还是向后，因为物理学定律不会区分跑向未来的事件还是跑向过去的事件。在局部上，即使雾总体上正在消散，分子的碰撞也能将雾凝聚成孤立的斑点。在这个例子中，有一个清晰的全局时间之矢和一个混乱的局部时间之矢。

也存在相反的情形。人们可以通过考察光线的自旋，在局部检测光线，看看它们是向前移动，还是向后移动。右旋螺钉被标记为正且随时间向前移动，左旋螺钉被标记为负且随时间向后移动。现在，问题在于构建全局箭头 （global arrow） 。彭罗斯解释道，“量子场论需要把诸场量分解成正频和负频部分。前者顺时间传播，而后者逆时间传播。为了得到理论的传播子，人们需要一种把正频率 （也就是正能量） 部分挑出来的办法。 扭量理论 是完成这种分解的一个 （不同的） 框架——事实上，这种分解正是扭量的一个重要的原始动机” （Hawking and Penrose 1996，107 页） 。

彭罗斯详细叙述了 1963 年 12 月 1 日一次驾车旅行的确切时刻，当时他意识到，有一种方法可以将这些局部观测结果构造成一个完整的全局图景，用来描述时间箭头 （arrow of time） 。他认识到，实线将复平面分为正虚部和负虚部，这种基本的分解也是用黎曼球面来模拟的。从北极向南半球上的点的投影等同于负频率，随时间向后退行，而从北极向北半球上的点的投影则等同于正频率，沿光锥上部的方向 （反天映射） 随时间前行。这一分析给出了时间方向的全局图景。彭罗斯宣告：“我找到了我的空间！” （1987 年，第 8 节；2004 年，993 页以后）

通向实在之路

天球只定义了时空中的一个点，即观者在当前时刻的位置。光锥的所有光线在时空中的单个点汇聚。因此，每个扭量只定义单个点。问题变成如何将这些点组装成由离散元素组成的协合空间，以及如何在没有已有的坐标系的情况下做到这一点。换句话说，我们的目标是定义一个空间，首先它具有量子粒度