洪永淼：经济管理类专业研究生核心课程｜如何学习概率论与统计学课程？

二、随机思维在经济学的重要性

现代经济学一个最显著特点是定量分析（或数量分析）的广泛使用。定量分析包括数学方法，例如数理经济学、数理金融学，其在经济学所起的作用类似于物理学中的数学方法在物理学所起的作用。数学方法在推动经济理论的发展发挥了巨大作用。一个著名例子是Arrow & Debreu（1954）应用数学固定点定理证明瓦尔拉斯一般均衡的存在。另一个例子是数学在博弈论发展过程中的作用。但经济学的定量分析更多的是以观测数据为基础的实证研究（empirical studies）。作为以数据为基础的实证研究的方法论，计量经济学自然成为经济学研究最主要的方法论。而作为计量经济学的理论基础的概率论与数理统计学，在国外高校经济学专业博士生课程体系中便成为计量经济学专业的基础课程与核心课程。但是，概率论与数理统计学并不是只是对计量经济学有用match。事实上，概率论与数理统计学对现代经济学理论是不可或缺的。其根本原因，是经济现象充满着大量不确性。现代经济学是研究在市场不确定条件下，经济稀缺资源如何配置与分配，而描述不确定性最好的数学工具是概率论与统计学。

事实上，现代经济学大部分理论均是用概率论与统计学的概念与工具来描述的。宏观经济学中的理性期望（rational expections）学派，其主要思想是：在不确定经济环境下，经济主体的主观期望值与实际发生的平均值相吻合，即经济主体不犯系统性偏差。用概率论语言来描述：

理性期望是现代宏观经济学的一个基本假设。经济主体之所以存在期望，是因为经济系统中存在不确定因素，例如收入不确性、资产价格不确性等等。著名的动态随机一般均衡（Dynamic Stochastic General Equilibrium, DSGE）模型，就是在市场不确定条件下，研究宏观经济资产价格及其各个部门如何达到均衡状况，研究经济政策如何影响宏观经济运行。

绝大部分微观经济学标准教科书，在介绍消费者理论、厂商理论、垄断与寡头垄断时，并不涉及任何不确定性。事实上，经济主体在作决策时，一般都不知道后果如何。微观经济学中，博弈论大量使用概率分布来描述博弈竞争者可能的策略。作为微观经济学的一个重要分支，在不确性条件下决策研究（decision making under uncertainty）中，经济主体选择一个最佳决策以使其期望损失最小化。用概率语言描述，经济主体在第t时期，选择最佳决策a

例子是二次项：

的经济主体将偏爱X的分布，因为Y的分布向两端扩展，因而风险较大。可以这样说，现代金融理论若将其中概率论与统计学概念与工具抽掉，将成为一个“空壳”（empty box）！事实上，社会学科其他领域也大量应用概率论与统计学。例如，保险学在计算保值时大量应用大数定律与中心极限定理，而会计学在计算公允价值时也依赖于对市场不确性的预测。

在社会经济政策研究方面，以数据为基础的政策量化评估日益受到重视，相关的评估方法（econometrics of program evaluation）突飞猛进（Imbens and Wooldridge, 2009; Heckman, 2000, 2001）。所谓社会经济政策的量化评估，是指在数据分析的基础上，评估某个社会经济政策在其他影响因素不变的条件下，对某个群体的影响有多大。例如，某个扶贫政策对某个特定群体的收入效应（treatment effect），等于所观测到的该政策实施时特定群体的收入减去该政策没有实施时（但其他条件不变）同一群体的收入。这里测度的一个主要困难是当政策实施后，我们便无从观测到该政策不实施时同一群体的收入。为了估计该政策不实施时同一群体的收入，人们可能会想到采用没有享受该政策的社会上其他群体的收入作为参考比较。但是其他群体可能与特定群体差别很大（如群体特征、地区差别、其他条件等），此时若使用其他群体的收入作为参考，便很可能会产生很大的政策效应估计偏差。如果研究人员能够设计随机化实验（randomized experiments）或调查方法，使其他群体与所研究的特定群体具有相同或类似的特征，这样便可以使用没有享受优惠政策的其他群体的收入作为参考或比较。从而得到比较科学的政策效应评估。在这里，随机思维（特别是独立同分布的随机样本）对理解样本选择偏差，寻找比较科学的政策效应评估方法，以及识别正确的因果关系，发挥了关键作用。

三、概率论与统计学课程的重要作用

在经济学专业研究生课程设置中，有一门课程是数理经济学或通常称经济数学，专门介绍经济学所需要的重要数学方法与工具。经济数学主要是指微积分与线性代数。

现代经济学有二大基本分析方法，一是优化分析，一是市场均衡分析。经济稀缺资源的优化配置，特别是经济主体理性假设下的最优化目标与行为，决定了作为优化数学工具的微积分在经济分析中的基础重要性。另一方面，线性联立方程是均衡分析的一个基本数学方法。因此，将微积分与线性代数作为经济数学的主要内容无可非议。

但是，经济数学仅有微积分与线性代数是远远不够的。在现代经济学中，经济现象充满着大量不确性，随机思维与统计思维不可或缺。而随机思维的训练需要概率论与统计学作为经济学研究生教育的一门核心基础课程。概率论与统计学，不仅仅讲授几个著名分布（t-分布，F-分布，x²分布）以及相应的估计方法与检验方法，更重要的是随机思维与统计思维的系统训练。

概率论与统计学是关于数据分析的一门科学，是关于从具有随机性的样本信息如何推断母体或整个系统的本质特征的方法论。其中，概率论对理解数据的随机性质奠定了理论基础，也为严谨的统计推断提供了数学概率模型，是现代经济学之所以能够成为一门科学的最重要方法论基础。概率论与统计学这门课程，主要是讲授概率论与数理统计学的基本思想、概念、理论、方法与工具。具体地说，它涵盖概率论基础、随机变量及其分布、数学期望与分位数、矩、矩生成函数与特征函数、重要离散与连续概率分布、多元随机变量及其分布、相关性分布、条件期望、统计抽样、正态分布下经典统计理论、大样本分析及极限定理、参数估计与评估、参数假设检验、最小二乘法经典理论等等。从这些内容看，这是一门实实在在的数学课程。

四、如何讲授、学习概率论与统计学课程？

但是，作为面向经济管理类专业研究生（包括博士生与硕士生）所开设的概率论与统计学课程，必须从经济学视角对概率与统计学基本概念、理论与方法进行直观解释，并如何将这些数学知识应用于经济学分析中。从这个角度上看，这门课并不是一门单纯的概率与统计学课程。在讲授、学习概率论与统计学知识时，应该注重对这些知识提供经济解释，并且通过例子说明如何应用于经济金融分析中。为了方便说明，以下提供若干经济学例子。

例1：累进分布函数、洛伦兹曲线与基尼系数

在刻画随机变量及其概率分布时，一个基本工具是累进分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）。除了探讨CDF的数学性质外，可用CDF为基础的洛伦兹曲线以及相关的基尼系数来说明如何用CDF来测度收入差距程度。所谓洛伦兹曲线是指：最低收入x% 的人口比重（y%）有多大，这实际上是一个CDF。这里45% 线（均匀分布的CDF）代表着绝对平均分配，因此洛伦兹曲线越靠近45% 线，就代表收入分配越均等。著名的基尼系数定义为洛伦兹曲线下方面积与45% 线下方面积之比。

例2：均值、方差与投资组合理论

为了说明均值与方差在经济学的应用，我们考察Markowitz（1952）的经典投资组合理论。简单起见，假设只有二个资产，一个无风险资产，一个有风险资产。

假设一个投资人有I万元，其中w万元投资于收益率为常数r的债券市场，其余（I-w）万元投资于收益率为X的股市，这里X是均值为

益为

这里，期望收益为

方差（风险）为

那么，投资者如何决定组合权重w？假设投资者的效用函数

其中常数a，b>0为风险偏好系数。投资者将选择

合权重

平均回报率高于无风险债市回报率。当b=0即投资者为风险中性（risk neutral）时，他将不介意风险大小而最大化期望回报率，此时他将全部投资于股市。另一方面，当厌恶参数b很大时，投资者将会把全部或大部分投资投于债市。均值、方差因此提供了一个简单又方便的投资组合分析框架。

例3：样本均值的方差趋零与风险分散

统计学中，有一个经典理论，即当容量为n的随

金融学有一个理论，即任何个别的异质风险，都可以通过分散化投资加以消除。这实际是建立在上述经典统计理论基础之上。假设共n个资产（assets），每个资产收益率为：

现在考虑构建一个权重相等的投资组合：

其方差（代表投资组合的总风险），

换言之，当资产个数很大时，投资组合的风险只由市场风险（即系统风险）决定，不依赖于任何个别异质风险，而这个金融学原则，其理论基础就是经典统计理论

例4：大数定律与“购买并持有”交易策略

这就是所谓的大数定律。

金融学中的“购买并持有（Buy and Hold）”交易策略为我们理解大数定律提供了一个很好的实例。购买并持有交易策略，指投资者购买一个资产或资产组合后长时间持有。假设投资者持有期为n天，持有期内第天的随机回报率为。显然，持有期内日平均回报率为样本均值。当持有期很长时（即n很大），大数定律保证非常接近总体均值因此，总体均值可解释为购买并持有交易策略的日平均回报率或市场长期平均回报率。

大数定律在日常生活中有很多应用。例如，过去几年，由于经济下行压力，很多商业银行对小微企业信用贷款呆账坏账大量增长，导致不良率大幅上升，其中一个原因，是由于很多商业银行对小微企业实行了“连保”政策，导致一家企业倒闭便可能连累很多连保企业。这实际上，是由于“连保”政策，导致大数定律发挥作用的前提条件（独立性）不成立。

例5：线性回归模型估计的R²及其经济意义

我们现在以资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model ,CAPM）为例说明线性回归模型的R²的经济意义。

五、结论

计量经济学是现代经济学中以数据分析为基础的实证研究的方法论。作为计量经济学的理论基础，概率论与统计学对计量经济学这门学科的发展、特别是对计量经济学的理论与方法的创新与应用，发挥着十分重要的作用。

但是，概率论与统计学的作用不仅仅局限于计量经济学领域。由于经济现象充满着不确定性，经济学其他领域，包括宏观经济学、微观经济学、金融学等等，在理论分析中，随机思维与统计思维提供了很多新的洞见，对经济理论发展与创新发挥了巨大推动作用。作为定量描述不确定性的最佳数学工具，概率论与统计学在经济科学中不可或缺，应该与微积分、线性代数一样，成为经济数学的重要组成部分，成为经济管理类专业研究生特别是博士生教育的核心课程。