数学思维
数学之美
数学功底是什么？一言以蔽之，
数学的思维方式
。
数学的思维方式学得好，就算拿到一个新概念，也能快速理解并用来解决问题。就算不知道，只需要在遇到的时候现学就可以了。
那数学的思维方式有哪些呢？
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严格
这里说严格是区别于严谨。严谨更强调对细节的注意。而这里说的严格，就是
严格套定义
！定义说什么就是什么，不要掺入自己的想法！然后严格按定义严格判断和证明！
不要去想什么理不理解，定义就是那个样子，我经常很头疼的一个问题就是我不理解xx（概念），你给我讲一下。我直觉就是，有什么不理解的，定义就在那里，符合就对，不符合就错，没什么不理解的。
定义就在那里，非空集合，二元运算（从名字上就可以理解，二元就是两个元素，二元运算，显然就是两个元素参与的运算），封闭性，结合律，单位元，逆元的概念就在那里，清晰明了，没什么可以说的。然后问一个问题：实数对加法是否构成一个群？实数显然非空，加法也显然是一个二元运算。
来看定义。
（1）封闭性。对实数集中任意两个数a,b,a+b=c,c是唯一的吗，c也属于G吗？显然是肯定的，这条符合；
（2）结合律成立。任意(a+b)+c是否等于a+(b+c),太明显了，肯定成立；
（3）单位元存在。是否有某个实数e,使得实数a+e=e+a=a,什么数e加上一个另一个数会等于那个数本身呢，显然是0 ，单位元存在；
（4）逆元存在，任意一个数a ，是否存在b，使a+b=0呢，显然是对应的负数。成立
。
所以，实数集对加法构成群。
根据这个定义，也很容易判断，实数集对乘法不构成群。0不存在逆元。
这里用到了那些知识？除了
可能有人不认识，其他的都应该是一个初中生都能知道的。
换句话说，给一个初中生看完群的概念，再让他判断实数集对加法能否构成一个群，都应该能判断出来！！
但是有多少初中生能独立判断出来？
严格按定义，看起来不值一提，但这是一种很深刻的数学素养，没见过的数学知识太多，如何在第一次遇到就迅速学习？就是严格看定义，不要去想什么理不理解。
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思想方法
其中最核心的是分析和综合。
综合
，就是从已知条件进行推导，看能得到什么东西。
分析
，就是从问题出发，看要解决问题，需要哪些东西。
一个综合的例子：对于一个非齐次线性方程组Ax=B,
是其中r个解，记
，若
也是方程组的解，求
。
已知A*
=B,A*
=B,A*
=B,
也是解，那么A*
=B,
是个什么呢？
,于是A
=B,
但是又注意到A*
=B,A*
=B,A*
=B,于是
然后
,一目了然，
一个分析的例子：
我们现在将上一个例子改为证明
，就是证明
=1，为了证明这一串式子等于1，要是能证明
或
就好了。对于后面一个，一看，
，于是
显然是成立的，就证明成功了。写过程的时候到去就可以了。这个例子可能不是很好⊙▽⊙只是为了说明从问题出发到已知条件的过程。
分析和综合多半是同时应用的，分析遇到难点就综合一下，然后继续推进。分析和综合的时候可能会得出一些没有用的推论，比如
，就不是很有用，用排除法，去掉没有用的就可以了。
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问题转化
对问题进行转化有两种很重要的思维方式：构造和映射。
构造就是构造一个函数、方程、新定义来解决和证明问题。
比如为了证明一个多项式比另一个大，构造一个差函数，用导数来证明差大于0。
映射就是将问题映射为一个模型或其他的东西，这个可能在科研里用得比较多。
图论里面也有很多例子。比如著名的七桥问题。
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多说几句
那么，数学功底究竟指的是什么？是建立模型解决问题的能力？是对纯数学的理解？是题海战术后会有的必然结果？还是只要认真思考，保持好奇心和求知欲后，对数学的那种不再惧怕，反而更加喜欢？
数学功底，如我开头所说，最本质是一种思维方式，但是这种思维方式一般要经过大量的练习和知识的积累才能形成。
我也是做了很多题之后才逐渐明晰这些想法。
平常看证明，看问题解析的时候的时候，不妨多想想，是如何来构造、对问题进行转化的，证明的结构是什么，先证明什么后证明什么。
有意识地培养上面提到的数学的思维方式，
抓定义，分析，综合，构造，映射
。
做题的时候也要有意识地运用分析综合的思想，想想从已知条件得到什么，哪些是有用的，哪些是没有用的。如果要构造一个东西来解决问题，应该怎么办…………多学习新知识。多接触新的领域，才能逐渐融会贯通。对知识有深入的理解，建立模型解决问题的能力才能逐渐增强。所谓以不变应万变。
