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0x0. 问题引入

Linear Attention的论文如下: Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention: https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf 。官方给出实现代码地址: https://github.com/idiap/fast-transformers 。虽然这个仓库是Linear Attention的原始实现,但基于这个codebase也引出了后续的一系列线性Attention的工作比如：Efficient Attention: Attention with Linear Complexities (https://arxiv.org/abs/1812.01243), Linformer: SelfAttention with Linear Complexity（https://arxiv.org/abs/2006.04768), Reformer: The Efficient Transformer (https://arxiv.org/abs/2001.04451) 等等。

这篇文章是对Linear Attention的forward cuda kernel进行解析, 在此之前我先基于论文的3.2节对Linear Attention做一个复述, 明确这里要计算的是什么。

Linear Attention的目的是将 Self Attention 的平方根序列长度级别复杂度降低为线性的复杂度。假设Attention模块的输入为 , 它的 shape为 , 其中 表示序列长度, 表示的是 embedding的维度。对于常见的SelfAttention来说, 它的计算过程表示为:

其中矩阵 是由输入 经线性变化得到的。如果用下标 来表示矩阵的第 行, 那么可以将公式 (2) 中的计算用如下形式抽象出来:

其中 为抽象出的计算Query和Key相似度的函数。在常规的Transformer中, 定义为上面的 。

接着, 我们可以将 定义为任何我们希望的形式。上述定义过程中对 唯一的约束是它需要非负。Linear Transformer采用了kernel来定义上面公式 (3) 中的sim, 这就引出了公式

然后在Linear Attention里面 被定义为 。注意上式中求和项与 无关, 因此可以把与 有关的项提到前面, 可以推出公式 (5) :

可以想到我们在遍历Q的时候，由于求和项和无关，所以可以提前把右边的求和项计算出来，所以整体的复杂度和序列长度是线性关系而非平方。对应了论文的这部分解释：

上面介绍的是Encoder部分的Linear Attention工作原理，而本篇文章解析的就是使用cuda如何计算和优化上面的公式（5）。

0x1. 接口介绍

我们先从这个naive的Linear Attention实现入手，摸清代码实现和上面介绍的公式5的对应关系。https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/linear_attention.py ，这个实现很短，逐行解释一下。

from ..attention_registry import AttentionRegistry, Optional, Callable, Int, \
    EventDispatcherInstance
from ..events import EventDispatcher
from ..feature_maps import elu_feature_map # 这就是论文提到的elu(x)+1


class LinearAttention(Module):
    """实现了未经掩码处理的注意力机制，使用特征映射的点积，在 O(N D^2) 的复杂度下进行计算。

    给定query、key和value分别为 Q、K、V，我们不是计算

        V' = softmax(Q.mm(K.t()), dim=-1).mm(V),

    而是利用一个特征映射函数 Φ(.)，执行以下计算

        V' = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V).

    上述计算可以在 O(N D^2) 的复杂度下完成，其中 D 是 Q、K 和 V 的维度，N 是序列长度。
    然而，根据特征映射的不同，注意力的复杂度可能会受到限制。

    Arguments
    ---------
        feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）
        eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）
        event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）
    """
    def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,
                 event_dispatcher=""):
        super(LinearAttention, self).__init__()
        self.feature_map = (
            feature_map(query_dimensions) if feature_map else
            elu_feature_map(query_dimensions)
        )
        self.eps = eps
        self.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)

    def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,
                key_lengths):
        # 对查询（Q）和键（K）应用特征映射。
        self.feature_map.new_feature_map(queries.device)
        Q = self.feature_map.forward_queries(queries)
        K = self.feature_map.forward_keys(keys)

        # 检查并确保 attn_mask 是全部为一的，这表明这种注意力不支持任意的注意力掩码。
        if not attn_mask.all_ones:
            raise RuntimeError(("LinearAttention does not support arbitrary "
                                "attention masks"))
        K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]

        # 计算键和值的点积（KV 矩阵），以此减少计算复杂度。
        KV = torch.einsum("nshd,nshm->nhmd", K, values)

        # 计算归一化因子（Z）。
        Z = 1/(torch.einsum("nlhd,nhd->nlh", Q, K.sum(dim=1))+self.eps)

        # 最后，使用 torch.einsum 计算并返回新的值（V）
        V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)

        return V.contiguous() 

注意，K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None] 这行代码是用于在注意力机制的计算中“掩蔽”掉那些序列中的无效或填充部分，确保模型只关注有效的数据部分。这里的key_length表示的是序列中每个元素是否有效，比如在处理具有不同长度的序列时（如在自然语言处理中），较短的序列可能会被 padding 以匹配最长序列的长度。key_lengths 就是用来标识这些 padding 位置的。.float_matrix是将key_lengths转换为浮点数矩阵的操作。[:, :, None, None]这是一个切片操作，用于添加两个额外的维度，用于确保两个张量在进行elementwise乘法之前具有相同的shape。此外，forward的过程中存在爱因斯坦求和表达式，前面2个比较好理解，V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)这行代码的"nlhd,nhmd,nlh->nlhm"表示的过程为：

• Q 的 d 维度和 KV 的 d 维度会相乘。
• d 维度就会被求和，因为它没有出现在 "nlhm" 中。
• 结果会被重新组织成输出格式 "nlhm" 指定的形状。

这里的代码也就对应着 V' = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V) 这个公式。

综上，这里实现的是没有mask的Linear Attention，但目前在主流的解码器架构上进行训练需要的是带因果关系mask的Attention，所以自然也需要一个CausalLinearAttention的实现，而本文要解析的cuda kernel也正是在这个模块引入的。源码见：https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/causal_linear_attention.py 。

# 这个函数实现了因果线性注意力的核心计算。它首先调整输入张量 Q、K 和 V的维度，  
# 然后应用 causal_dot_product 函数计算新的值张量 V_new。  
def causal_linear(Q, K, V):  
    Q = Q.permute(0,2,1,3).contiguous()  
    K = K.permute(0,2,1,3).contiguous()  
    V = V.permute(0,2,1,3).contiguous()  
    V_new = causal_dot_product(Q, K, V)  
    return V_new.permute(0,2,1,3).contiguous()  
  
  
class CausalLinearAttention(Module):  
    """实现因果掩码注意力机制，使用特征映射的点积在 O(N D^2) 复杂度下进行计算。  
  
    有关用特征映射替换 softmax 的一般概念，请参阅 fast_transformers.attention.linear_attention.LinearAttention。除此之外，我们还利用了因果掩码是三角形掩码的事实，这允许我们在保持 O(N D^2) 复杂度的同时应用掩码并计算注意力。  
  
    Arguments  
    ---------  
        feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）  
        eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）  
        event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）  
    """  
    def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,  
                 event_dispatcher=""):  
        super(CausalLinearAttention, self).__init__()  
        self.feature_map = (  
            feature_map(query_dimensions) if feature_map else  
            elu_feature_map(query_dimensions)  
        )  
        self.eps = eps  
        self.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)  
  
    # 这个私有方法用于确保 Q 和 K 张量的大小兼容，通过对 K 进行切片或填充以匹配 Q 的大小。  
    def _make_sizes_compatible(self, Q, K):  
        """Either slice or pad K in case that the sizes do not match between Q  
        and K."""  
        N, L, H, E = Q.shape  
        _, S, _, _ = K.shape  
        if L == S:  
            return Q, K  
  
        if L             return Q, K[:, :L, :, :]  
  
        if L > S:  
            return Q, torch.cat([K, K.new_zeros(N, L-S, H, E)], dim=1)  
  
    def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,  
                key_lengths):  
        # 对query和key应用特征映射。  
        self.feature_map.new_feature_map(queries.device)  
        Q = self.feature_map.forward_queries(queries)  
        K = self.feature_map.forward_keys(keys)  
  
        # 检查 attn_mask 是否为下三角因果掩码，并应用键长度掩码。  
        if not attn_mask.lower_triangular:  
            raise RuntimeError(("CausalLinearAttention only supports full "  
                                "lower triangular masks"))  
        K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]  
  
        # 确保query和key的大小（长度）兼容。  
        Q, K = self._make_sizes_compatible(Q, K)  
  
        # TODO: Shall we divide the Q and K with a relatively large number to  
        #       avoid numerical instabilities in computing the denominator?  
        #       We used to divide each with the max norm of all q and k but  
        #       that seems relatively costly for a simple normalization.  
  
        # Compute the normalizers  
        Z = 1/(torch.einsum("nlhi,nlhi->nlh", Q, K.cumsum(1)) + self.eps)  
  
        # Compute the unnormalized result  
        V = causal_linear(  
            Q,  
            K,  
            values  
        )  
  
        return V * Z[:, :, :, None]  

和full mask的Linear Attention的主要区别就是现在的mask是下三角的，以及 causal_dot_product 这个函数的应用。我们可以从LinearAttention的forward过程推出 causal_dot_product 完成的其实是下面的计算过程：V' = Φ(Q).mm(Φ(K).t()).mm(V)

0x2. CPU实现

先看一下causal_dot_product的cpu实现，确定它的计算逻辑和上面的结论一致。https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cpu.cpp#L10-L125 。下面是一些关键的解释。

// 这个函数计算两个向量 a 和 b 的外积（a 和 b 的转置的点积）并将结果保存在 out 中。  
// a 是一个长度为 A 的向量，b 是一个长度为 B 的向量。  
// 外积的结果是一个 AxB 的矩阵。  
inline void vvt_dot(float *a, float *b, float *out, int A, int B) {  
    for (int i=0; i        float * bi = b;  
        for (int j=0; j            *out += (*a) * (*bi);  
            out++;  
            bi++;  
        }  
        a++;  
    }  
}  
  
  
// 这个函数实现了向量 v 和矩阵 m 的乘积，并将结果保存在 out 中。  
// v 是一个长度为 A 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。  
// 结果是一个长度为 B 的向量。  
inline void vm_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {  
    // TODO: Consider removing the zeroing part and assuming out already  
    //       contains 0s  
    for (int i=0; i        out[i] = 0;  
    }  
  
    for (int i=0; i        float *oi = out;  
        for (int j=0; j            *oi += (*v) * (*m);  
            oi++;  
            m++;  
        }  
        v++;  
    }  
}  
  
  
// 这个函数计算向量 v 和矩阵 m 转置的乘积，并将结果保存在 out 中。  
// v 是一个长度为 B 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。  
// 结果是一个长度为 A 的向量。  
inline void vmt_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {  
    for (int i=0; i        float *vi = v;  
        float s = 0;  
        for (int j=0; j            s += (*vi) * (*m);  
            vi++;  
            m++;  
        }  
        // TODO: Should we be aggregating? See the comment on vm_dot.  
        *out = s;  
        out++;  
    }  
}  
  
  
// 这个函数计算查询（queries）、键（keys）和值（values）的因果掩码点积。  
// N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。  
// 计算公式为：V_j' = (Q_{0:j} * K_{0:j}^T) * V_{0:j}  
void causal_dot_product(  
    const torch::Tensor queries,  
    const torch::Tensor keys,  
    const torch::Tensor values,  
    torch::Tensor product  
) {  
    // Extract some shapes  
    int N = queries.size(0);  
    int H = queries.size(1);  
    int L = queries.size(2);  
    int E = queries.size(3);  
    int M = values.size(3);  
  
    // Create accessors for all the arguments  
    auto qa = queries.accessor();  
    auto ka = keys.accessor();  
    auto va = values.accessor();  
    auto pa = product.accessor();  
     
   // 使用 OpenMP 实现并行计算，增加计算效率。  
    #pragma omp parallel for collapse(2)  
    for (int n=0; n        for (int h=0; h            auto kv = torch::zeros({E, M}, queries.options());  
            float *kvp = kv.data_ptr();  
            for (int l=0; l                // 该函数首先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。  
                vvt_dot(  
                    &ka[n][h][l][0],  
                    &va[n][h][l][0],  
                    kvp,  
                    E,  
                    M  
                );  
                vm_dot(  
                    &qa[n][h][l][0],  
                    kvp,  
                    &pa[n][h][l][0],  
                    E,  
                    M  
                );  
            }  
        }  
    }  
}  

可以清晰的看到这里的计算过程就是 ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。为了更高效，还使用了openmp做并行计算。

0x3. CUDA实现

cuda实现在 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cuda.cu 。

Fallback 的 causal_dot_product_kernel

由于整个kernel的行数有点多，这里先只关注forward的kernel，我去掉了大部分的backward的kernel，精简后的代码放在这里：https://github.com/BBuf/how-to-optim-algorithm-in-cuda/blob/master/linear-attention/causal_product_cuda.cu 。首先来到kernel的入口：

void causal_dot_product(const torch::Tensor queries,  
                        const torch::Tensor keys,  
                        const torch::Tensor values,  
                        torch::Tensor product) {  
#ifdef ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONS  
  int fallback = nvidia::lmha_fwd(queries, keys, values, product);  
#else  
  int fallback = 1;  
#endif  
  if( fallback ) {  
    causal_dot_product_(queries, keys, values, product);  
  }  
}  
  
PYBIND11_MODULE(TORCH_EXTENSION_NAME, m) {  
    m.def(  
        "causal_dot_product",  
        &causal_dot_product,  
        "Compute the weighted sum of values but attending only to previous "  
        "values."  
    );  
}  

这里值得注意的地方就是如果开启了ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONS才会走优化实现，否则会fallback到causal_dot_product_这个kernel，我们看一下causal_dot_product_ kernel的实现。

typedef torch::PackedTensorAccessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits> float_accessor;  
  
#define E_BLOCK_SIZE 8  
  
__global__ void causal_dot_product_kernel(  
    const float_accessor queries,  
    const float_accessor keys,  
    const float_accessor values,  
    float_accessor result,  
    const int N,  
    const int H,  
    const int L,  
    const int E,  
    const int M  
) {  
    int n = blockIdx.y; // 确定 batch 所在的id  
    int h = blockIdx.z; // 确定 attention 所在的头的id  
  
    int e_start = blockIdx.x * E_BLOCK_SIZE; // 确定query的特征维度的开始位置  
    int m = threadIdx.x % M; // 确定 value 的特征维度 id  
  
    extern __shared__ float shared_mem[]; // 使用共享内存 (shared_mem) 来临时存储 key 和 value 的乘积。  
    float* shared_kv = shared_mem;  
    
  // 共享内存的初始化  
    for (int e_local = 0; e_local       shared_kv[m + e_local * M] = 0;  
    }  
  
    for (int t=0; t      // 对于每个 query 元素，计算与 key 的点积，结果累加到 result 张量中。  
      float res = 0;  
      for (int e_local = 0; e_local         shared_kv[e_local*M + m] += keys[n][h][t][e_local + e_start] * values[n][h][t][m];  
        res += queries[n][h][t][e_local + e_start] * shared_kv[e_local*M + m];  
      }  
      atomicAdd(  
          &result[n][h][t][m],  
          res  
      );  
    }  
}  
  
//  queries, keys, values 这些都是shape为 [N, H, L, E] 的四维Tensor，通过 float_accessor 访问数据。  
void causal_dot_product_(const torch::Tensor queries,  
                         const torch::Tensor keys,  
                         const torch::Tensor values,  
                         torch::Tensor product) {  
    // 确保使用正确的gpu设置。  
    torch::DeviceGuard _guard(queries.device());  
    
  // N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。  
    int N = queries.size(0);  
    int H = queries.size(1);  
    int L = queries.size(2);  
    int E = queries.size(3);  
    int M = values.size(3);  
  
    // 每个Block处理E_BLOCK_SIZE（=8）个隐藏层的元素  
    // 一共需要blocks_per_sequence这么多个Block来进行处理  
    // 注意：这里的blocks_per_sequence还要乘以N和H才是真正的Block个数  
    const int blocks_per_sequence = (E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE;  
    
  // 每个Block固定有M个线程  
    dim3 blockDim(M, 1, 1);  
    dim3 gridDim(blocks_per_sequence, N, H);  
    // 每个Block固定使用 E_BLOCK_SIZE（=8）* M个float这么大的shm  
    const int shared_mem_forward = E_BLOCK_SIZE * M * sizeof(float);  
  
    causal_dot_product_kernel<<>>(  
      queries.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),  
      keys.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),  
      values.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),  
      product.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),  
      N, H, L, E, M  
    );  
}  

总的来说，这个kernel使用了(E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE * N * H个Block，并且每个Block里面有M个线程，并且每个Block里面开了一个长度为E_BLOCK_SIZE * M的共享内存来存储当前Block计算出来的KV乘积。

可以这么来想，如果共享内存足够大，那么我们完全可以每个Block处理完一行Q和一行V的计算，也就是E和M做外积得到E*M的矩阵，但是实际上每个Block可以使用的共享内存是有限的，所以在保证线程数为M的情况下，我们每次只能处理一部分的Q，这里就是E_BLOCK_SIZE个，然后处理之后我们要使用atomic_add进行累加，这样才可以保证结果的正确性。

当然，使用了原子加，性能自然会下降，这是考虑共享内存大小和线程数的一个折中，此外虽然key和value的中间结果被存储到了共享内存，但对query的访问依然是走的global memory。接下来我们将看到新的kernel是如何一一解决这些问题。

更优的 lmha_fwd  kernel（shared memory+double buffering+free atomic add+pack）

接下来就逐步解析一下lmha_fwd kernel。首先是kernel的dispatch逻辑：

// 此函数的目的是初始化和设置 Lmha_params 结构体的参数，这些参数用于后续的线性多头自注意力操作。  
template  
inline void set_params(Lmha_params ¶ms,  
                       const torch::Tensor q,  
                       const torch::Tensor k,  
                       const torch::Tensor v,  
                       torch::Tensor       o) {  
  
  // Define the pointers.  
  // 使用 .data_ptr() 方法获取张量的指针，并将其分配给 params 结构体的对应成员。  
  params.out = o.data_ptr();  
  params.q   = q.data_ptr();  
  params.k   = k.data_ptr();  
  params.v   = v.data_ptr();  
  
  // Define the strides.  
  // 使用 .stride() 方法获取张量各维度的步长，并存储在 params 结构体中。  
  params.q_stride_B = (int) q.stride(0);  
  params.q_stride_H = (int) q.stride(1);  
  params.q_stride_L = (int) q.stride(2);  
  params.k_stride_B = (int) k.stride(0);  
  params.k_stride_H = (int) k.stride(1);  
  params.k_stride_L = (int) k.stride(2);  
  params.v_stride_B = (int) v.stride(0);  
  params.v_stride_H = (int) v.stride(1);  
  params.v_stride_L = (int) v.stride(2);  
  params.o_stride_B = (int) o.stride(0);  
  params.o_stride_H = (int) o.stride(1);  
  params.o_stride_L = (int) o.stride(2);  
  
  // 从query张量 q 中提取出维度信息（如批量大小 N、头数 H、序列长度 L 和特征维度 E）并设置到 params 结构体中。  
  int N = q.size(0);  
  int H = q.size(1);  
  int L = q.size(2);  
  int E = q.size(3);  
  int M = v.size(3);  
  
  params.B = N;  
  params.L = L;  
  params.H  = H;  
  params.E = E;  
  params.M = M;  
}  
  
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////  
  
int lmha_fwd(const torch::Tensor queries,  
             const torch::Tensor keys,  
             const torch::Tensor values,  
             torch::Tensor product) {  
  
  // Make sure that we are using the correct GPU device  
  torch::DeviceGuard _guard(queries.device());  
  
  // Make sure the inner-most dimension of the tensors is packed.  
  // 使用 assert 语句检查张量的最内层维度（即特征维度）是否是packed的  
  assert(queries.stride(3) == 1);  
  assert(keys   .stride(3) == 1);  
  assert(values .stride(3) == 1);  
  assert(product.stride(3) == 1);  
  
  // 提取张量的维度信息，如批量大小、头数、序列长度等。  
  int N = queries.size(0);  
  int H = queries.size(1);  
  int L = queries.size(2);  
  int E = queries.size(3);  
  int M = values.size (3);  
  
  // The structure of params.  
  Lmha_params<float> params;  
  // 调用 set_params 函数来初始化 Lmha_params<float> 结构体。  
  set_params(params, queries, keys, values, product);  
  
  // 调用 lmha<false>(params) 函数来执行实际的线性多头自注意力计算。这里 lmha<false> 表示特定的模板实例化。  
  return lmha<false>(params);  
}  

这段代码主要是做了一些预处理工作也就是设置Lmha_params对象，然后调用lmha这个函数来执行线性多头自注意力计算，这里的fasle意思是这里执行的是forward计算。另外需要注意的是，虽然这里命名是线性多头自注意力，但实际上计算的东西还是上面讲的causal_dot_product。

接下来看一下 lmha 这个模板函数的实现。

// GO_BACKWARD: 一个布尔类型的模板参数，用于指示是进行前向计算还是反向计算。  
template  
int lmha(const Lmha_params<float> ¶ms) {  
  int blocks = params.B * params.H; // blocks表示GPU的block数量？  
  int res = 1;  
  if( blocks            if( params.E <=  32 ) {  
      res = lmha_low_occupancy_(params, blocks);  
    } else if( params.E <=  64 ) {  
      res = lmha_low_occupancy_(params, blocks);  
    } else if( params.E <= 128 ) {  
      res = lmha_low_occupancy_<128, GO_BACKWARD>(params, blocks);  
    } else if( params.E <= 256 ) {  
      res = lmha_low_occupancy_<256, GO_BACKWARD>(params, blocks);  
    }  
  } else {  
           if( params.E <=  32 ) {  
      res = lmha_(params);  
    } else if( params.E <=  48 ) {  
      res = lmha_(params);  
    } else if( params.E <=  64 ) {  
      res = lmha_(params);  
    } else if( params.E <= 128 ) {  
      res = lmha_<128, 2, GO_BACKWARD>(params);  
    } else if( params.E <= 256 ) {  
      res = lmha_<256, 4, GO_BACKWARD>(params);  
    }  
  }  
  return res;  
}  

可以看到如果blocks（batch 和 注意力头的乘积 params.B * params.H）小于LOW_OCCUPANCY_THRESHOLD（=40）的时候，走的是lmha_low_occupancy_这个kernel的实现，否则就会走到lmha_的实现。另外，还会根据 query 的特征维度的大小 E 来设置kernel不同的模板参数。先来看一下lmha_这个常规一些的实现：

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小  
template  
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params ¶ms) {  
  int M = round_up(params.M, 4);  
  return 2*E + 2*M;  
}  
  
// E: 代表特征维度的大小。  
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。  
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。  
template  
int lmha_(const Lmha_params<float> ¶ms) {  
  // 调整 M 维度: M 是 params.M 的调整值，向上取整到最接近的 4 的倍数。这种调整可能是出于内存对齐或性能优化的考虑。  
  int M = round_up(params.M, 4);  
  
  // 计算 CUDA kernel中每个block的线程数。这个数是 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值向上取整到最接近的 32 的倍数。  
  int block = round_up(max(E, M*THREADS_PER_HEAD), 32);  
  // 如果计算出的块大小超过 512，或者批量大小 (params.B) 超过 65535，则返回 1。  
  // 这种情况表示配置不适合有效执行。  
  if( block > 512 || params.B > 65535 ) {  
    return 1;  
  }  
  
  // grid: 定义了 CUDA 核函数的网格大小，它是由头数 (params.H) 和批量大小 (params.B) 组成的二维网格。  
  dim3 grid(params.H, params.B);  
  // smem: 计算共享内存的大小，基于函数 smem_buffer_elts_ 的返回值，它根据特征维度 E 来确定共享内存的元素数量。  
  size_t smem = smem_buffer_elts_(params)*2*sizeof(float);  
  // 使用 CUDA 的 <<>> 语法调用 lmha_kernel 核函数，这个函数实际上执行线性多头自注意力的计算工作。  
  lmha_kernel<<>>(params);  
  return 0;  
}  

可以看到这个 kernel 将会启动H*B个Block，每个Block里面的线程数由 E 以及 M*THREADS_PER_HEAD 共同决定。注意，E 是 query 的隐藏层大小，而 M 是 value 的隐藏层大小。此外，还通过smem_buffer_elts_函数确定了这个kernel需要的共享内存大小，这个函数里面的2*表示的是double buffering。

接下来就是最关键的 lmha_kernel 的实现了，阅读之前还是要先想着我们要计算的东西是 ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小  
template  
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params ¶ms) {  
  int M = round_up(params.M, 4);  
  return 2*E + 2*M;  
}  
  
// E: 特征维度的大小。  
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。  
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。  
// params: Lmha_params<float> 类型的结构体，包含多头自注意力所需的各种参数。  
template  
__global__   
void lmha_kernel(Lmha_params<float> params) {  
  
  // Make sure E is a multiple of 4.  
  static_assert(E % 4 == 0, "");  
  
  // The amount of shared memory per buffer (2 buffers for double-buffering).  
  const int smem_buffer_elts = smem_buffer_elts_(params);  
  // The M dimension for shared memory.  
  const int M = round_up(params.M, 4);  
  
  // Shared memory to store Q, K and V. Size is 2*smem_buffer_elts.  
  // 分配共享内存用于存储 Q、K、V（query、key、value）。  
  // 注意上面的smem_buffer_elts是 (2E + 2M)  
  extern __shared__ float smem_[];  
  
  // The various shared memory buffers.  
  float *smem_q = &smem_[0*E];  
  float *smem_k = &smem_[1*E];  
  float *smem_v = &smem_[2*E];  
  float *smem_o = &smem_[2*E + M];  
  
  // The index of the shared memory buffer (for double-buffering).  
  // 使用 smem_curr 管理双缓冲区策略，以平滑地在不同迭代间交换共享内存。  
  int smem_curr = 0;  
    
  // 确定处理的序列（bi）和头（hi）。  
  const int bi = blockIdx.y;  
  const int hi = blockIdx.x;  
  
  // 线程的id  
  const int tidx = threadIdx.x;  
   
 // 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 Q、K、的偏移量  
  // The offset to the position loaded by the thread in Q.  
  int offset_q = bi*params.q_stride_B + hi*params.q_stride_H + tidx;  
  // The offset to the position loaded by the thread in K.  
  int offset_k = bi*params.k_stride_B + hi*params.k_stride_H + tidx;  
  
  // Determine the base pointers for Q and K.  
  const float *ptr_q = ¶ms.q[offset_q];  
  const float *ptr_k = ¶ms.k[offset_k];  
  
  // 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 V、O 的偏移量  
  int offset_v = bi*params.v_stride_B + hi*params.v_stride_H + tidx;  
  int offset_o = bi*params.o_stride_B + hi*params.o_stride_H + tidx;  
  
  // Determine the base pointers for V.  
  const float *ptr_v = ¶ms.v[offset_v];  
  
  // 通过tidx是否在E的范围内判断当前线程是否是处理Q 和 K的线程  
  const int active_qk = tidx   
  // 对于处理 Q 和 K 的线程，从全局内存加载数据。  
  float ldg_q = 0.f, ldg_k = 0.f;  
  if( active_qk ) {  
    ldg_q = *ptr_q;  
    ldg_k = *ptr_k;  
  }  
  
  // Is it an active V thread?  
  // 同样判断当前线程是否是处理V的活跃线程  
  const int active_v = tidx   
  // 对于处理V的线程，从全局内存加载数据  
  float ldg_v = 0.f;  
  if( active_v ) {  
    ldg_v = *ptr_v;  
  }  
  
  // Move the load pointers.  
  // 这里的stride_L实际上就是在E和M的维度上进行整体移动  
  if( GO_BACKWARD ) {  
    ptr_q -= params.q_stride_L;  
    ptr_k -= params.k_stride_L;  
    ptr_v -= params.v_stride_L;  
  } else {  
    ptr_q += params.q_stride_L;  
    ptr_k += params.k_stride_L;  
    ptr_v += params.v_stride_L;  
  }  
  
  // 每个注意力头的 float4 元素数量  
  constexpr int FLOAT4s_PER_HEAD = E / 4;  
  // 每个线程处理的 float4 元素数量。  
  constexpr int FLOAT4s_PER_THREAD = FLOAT4s_PER_HEAD / THREADS_PER_HEAD;  
  
  // 使用 float4 类型数组 kv 来存储 K 和 V 的乘积。FLOAT4s_PER_THREAD 是每个线程处理的 float4 元素数量。  
  float4 kv[FLOAT4s_PER_THREAD];   
  #pragma unroll  
  for( int ii = 0; ii     kv[ii] = make_float4(0.f, 0.f, 0.f, 0.f);  
  }  
  
  // 输出的指针位置  
  float *out_ptr = ¶ms.out[offset_o];  
  
  // 把q和k存储到shared memory  
  if( tidx     smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q;   
    smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k;   
  }  
  
  // 把v也存储到shared memory  
  if( tidx     smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;  
  }  
  
  // 计算每个线程在 V 维度上的位置，用于后续操作。  
  int vo = tidx / THREADS_PER_HEAD;  
  int vi = tidx % THREADS_PER_HEAD;  
  
  // 遍历每一个时间步（params.L），进行线性多头自注意力计算。  
  //（回想一下，输入Tensor的形状是 N H L E/M）  
  for( int ti = 0; ti   
    // 判断当前迭代是否为最后一次迭代。  
    int is_last = ti == params.L - 1;  
  
    // 如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 Q 或 K，那么从全局内存加载 Q 和 K 的下一个值。  
    if( !is_last && active_qk ) {  
      ldg_q = *ptr_q;  
      ldg_k = *ptr_k;  
    }  
  
    // 同样，如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 V，那么从全局内存加载 V 的下一个值。  
    if( !is_last && active_v ) {  
      ldg_v = *ptr_v;  
    }  
  
    // 根据 GO_BACKWARD 标志，移动 Q、K 和 V 的指针，以便加载下一组数据。  
    if( GO_BACKWARD ) {  
      ptr_q -= params.q_stride_L;  
      ptr_k -= params.k_stride_L;  
      ptr_v -= params.v_stride_L;  
    } else {  
      ptr_q += params.q_stride_L;  
      ptr_k += params.k_stride_L;  
      ptr_v += params.v_stride_L;  
    }  
  
    // 使用 __syncthreads() 来同步线程，确保所有数据都已经加载到共享内存中。  
    __syncthreads();  
  
    // 每个线程从共享内存中加载 K 的值。使用 float4 来提高数据访问的效率。  
    float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];  
    #pragma unroll  
    for( int ii = 0; ii       int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;  
      k[ii] = *reinterpret_cast(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);  
    }  
  
    // 每个线程加载单个 V 的值。  
    float v = 0.f;  
    if( vo       v = *reinterpret_castfloat *>(&smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + vo]);  
    }  
  
    // 计算 K*V^T  
    #pragma unroll  
    for( int ii = 0; ii       kv[ii].x += k[ii].x * v;  
      kv[ii].y += k[ii].y * v;  
      kv[ii].z += k[ii].z * v;  
      kv[ii].w += k[ii].w * v;  
    }  
  
    // 类似地，从共享内存中加载 Q 的值。  
    float4 q[FLOAT4s_PER_THREAD];   
    #pragma unroll  
    for( int ii = 0; ii       int qi = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;  
      q[ii] = *reinterpret_cast(&smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + qi]);  
    }  
  
    // 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。  
    float sum = 0.f;  
    #pragma unroll  
    for( int ii = 0; ii       sum += q[ii].x * kv[ii].x;  
      sum += q[ii].y * kv[ii].y;  
      sum += q[ii].z * kv[ii].z;  
      sum += q[ii].w * kv[ii].w;  
    }  
  
    // 当每个注意力头有多于一个线程时，需要汇总这些线程的计算结果。  
    if( THREADS_PER_HEAD > 1 ) {  
  
      // 使用 __shfl_xor_sync 函数进行汇总。这个函数能够在 warp 内部的所有线程间高效地交换数据。  
      // 通过这种方式，线程可以获取并累加其他线程的 sum 变量。  
      // mask 用于指定参与交换的线程。每次迭代，mask 减半，意味着交换的范围越来越小，最终实现全局汇总。  
      #pragma unroll  
      for( int mask = THREADS_PER_HEAD / 2; mask >= 1; mask /= 2 ) {  
        sum += __shfl_xor_sync(uint32_t(-1), sum, mask);  
      }  
  
      // 如果当前线程对应的 V 维度索引 vo 小于 M 且在其头内的索引 vi 为 0，  
      // 则将汇总后的 sum 存储到共享内存的输出部分。  
      if( vo         smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + vo] = sum;  
      }  
  
      // 使用 __syncthreads() 来确保所有线程都完成了对共享内存的写操作。  
      __syncthreads();  
  
      // 活跃的处理 V 的线程读取共享内存中的汇总结果到 sum 变量中。  
      if( active_v ) {  
        sum = smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx];  
      }  
  
    } // THREADS_PER_HEAD > 1.  
  
    // 活跃的处理 V 的线程将汇总结果写入全局内存的输出位置。  
    if( active_v ) {  
      *out_ptr = sum;  
    }  
  
    // 根据 GO_BACKWARD 标志移动输出指针，为下一步迭代做准备。  
    if( GO_BACKWARD ) {  
      out_ptr -= params.o_stride_L;  
    } else {  
      out_ptr += params.o_stride_L;  
    }  
  
    // 切换共享内存缓冲区，以便在下一个时间步中使用。  
    smem_curr = (smem_curr + 1) % 2;  
  
    // 如果不是最后一次迭代，存储下一步迭代的 Q、K 和 V 到共享内存中。  
    if( !is_last && tidx       smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q;  
      smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k;  
    }  
  
    if( !is_last && tidx       smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;  
    }  
  }  
}

kernel里面从shared memory加载Q，K，V的时候的索引代码不是很好理解，这里单独解释一下，以加载K为例：

float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];  
    #pragma unroll  
    for( int ii = 0; ii       int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;  
      k[ii] = *reinterpret_cast(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);  
    }  

这里的目的是给每个线程加载一组 float4 类型的 Key 值到局部数组 k 中，FLOAT4s_PER_THREAD 表示每个线程要处理的float4的元素数量，THREADS_PER_HEAD 表示每个注意力头需要分配的线程数，以及tidx表示的是当前的线程索引。

tidx % THREADS_PER_HEAD 这行代码标识当前线程在它所属的注意力头中的局部索引。由于每个注意力头有 THREADS_PER_HEAD 个线程，取模操作确保了索引在 0 到 THREADS_PER_HEAD - 1 的范围内。然后*4用于确保我们访问的是连续的 float4 元素。

接着，ii 是循环变量，从 0 到 FLOAT4s_PER_THREAD - 1。这一步是为了在整个 Key 共享内存中跳过前面所有线程已经处理的部分。乘以 THREADS_PER_HEAD * 4 是因为每个线程负责 FLOAT4s_PER_THREAD 个 float4 元素。

再之后，索引 ki 是以上两部分的和，它确定了当前线程应该从共享内存 smem_k 中读取 K 值的起始位置。

最后，当计算出正确的索引 ki后，kernel就通过 *reinterpret_cast(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]) 从共享内存中加载 float4 类型的 Key 值。这里使用了 reinterpret_cast 来确保将共享内存中的数据正确地解释为 float4 类型。

最后，对这个kernel的计算逻辑以及线程配置做一个总结：

• block size：每个块的线程数计算基于 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值，向上取整到最近的 32 的倍数。
• grid size：由头数（H）和批量大小（B）组成的二维网格。
• 共享内存大小：由 smem_buffer_elts_ 函数计算，考虑到特征维度和双缓冲策略。

计算逻辑为：

• 加载和存储 Q、K、V：

• 根据线程索引和参数中的 stride（步长），计算 Q、K 和 V 的偏移量。
• 将 Q、K 和 V 的值加载到共享内存中。

• 计算 K*V^T 乘积：

• 每个线程从共享内存中加载 K 和单个 V 值。
• 计算 K 和 V 的乘积，并累加到局部内存中。

• 加载 Q 值并计算输出：

• 从共享内存中加载 Q 值。
• 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。

• 汇总计算结果：

• 当每个注意力头有多个线程时，使用 __shfl_xor_sync 函数在 warp 内部进行数据交换，实现线程间的汇总。

• 存储输出：

• 将汇总后的结果存储到输出指针指向的全局内存位置。

• 更新指针和缓冲区：

• 根据 GO_BACKWARD 标志更新指针位置。
• 切换共享内存缓冲区以备下一次迭代使用。

这个kernel的执行条件是 B * H 比较大（>40），也就是说可以保证 Block 的数量比较多，这个时候可以获得更高的GPU利用率。但如果 B * H 比较小的时候，如果还是调用这个 kernel，那就会导致 Block 的数量较少，比较难打满 GPU ，所以对于这种情况上面还提供了另外一个 kernel，即：lmha_low_occupancy_kernel 用于在 B * H 比较小时尽可能提高occupancy。但是这个kernel我目前还没完全看明白，等看明白了有机会再分析。

0x4. 总结

本文主要是对Linear Transformer的核心组件Linear Attention进行了原理讲解，并对实现Linear Attention组件的forward cuda kernel进行了详细解析，但这里的实现涉及到3个cuda kernel，分别在不同的数据规模和优化选项下触发，这里只解析了其中的两个。对于 lmha_low_occupancy_kernel 等看明白了有机会再分享。

参考

https://www.zhihu.com/question/602564718

https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf

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