一道知乎看来的奥数题

图见正文，题目如下：

三角形 ABC，角平分线 AD 分角 A 交 BC 于 D，O1，O2 和 O 分别是三角形 ABD，三角形 ACD 和三角形 ABC 的外心，求证 OO1 等于 OO2

知乎上给的答案添加了N条辅助线于是成了图中的样子，解法也比较复杂，详细的可以去看知乎帖子 装逼成功是怎样一种体验？ 里面熊小陶的回答。

然而这道题目在我看来，解法可以非常简洁，思路也可以更为清晰，所以值得今天在这里和大家分享一下。

首先这道题实际是要证明OO1和OO2 等腰，那么我们看一下收集到的信息中间最重要的是什么呢？ 应该是角平分线， 因为如果AD不等分顶角的话，O1和O2的位置会变化，OO1O2三角形的两个底角也会变化。所以这道题一定可以归约成 角OO1O2和一个顶角的关系，以及角OO2O1和另一个顶角的关系，然后由于两个顶角对等，于是OO1O2是等腰的。

那么由此来倒推证明方法的时候，复杂的辅助线和某某四点共圆之类的手法都不需要了，只需要这么做：

由于三角形ABD和ACD的外圆共弦AD，所以O1O2和AD垂直。同理OO1和AB，OO2和AC也垂直。

于是角BAD和角OO1O2是一样的（O1O2和AB形成的夹角里的两个相等对顶角分别和BAD以及OO1O2互余）。

同理角OO2O1和角CAD也是一样的。