发现之夜 1996年，英国化学家克罗托（Harold Kroto）和美国同行柯尔（Robert Curl）、斯莫利（Richard Smalley）因共同发现一种新的碳分子结构荣获诺贝尔化学奖。由于在探索原子簇构造的过程中受到美国建筑师富勒（Buckminster Fuller）的启发，他们谦虚地把这类物质命名为富勒烯（Fullerene）。拥有60个碳原子的富勒烯
1985年9月的某一天，英国苏塞克斯大学的克罗托即将结束在美国德州莱斯大学的访问，行前邀请几位同事参加一个告别晚餐。餐桌上的话题只有一个：由60个碳原子构成的原子簇
克罗托原来是研究光谱学与天体化学的，致力于探索红巨星大气中的化学反应，在赖斯大学访问的一年多时间里，他与柯尔、希斯（James Heath）、奥布赖恩（O'Brien）以及刘元（音译）等人一道，利用斯莫利设计的脉冲分子束发生器，从冷凝的碳蒸气中形成一类大型碳分子结构，借助飞行时间质谱方法，从中检测出类似
化学家自然会想到碳元素最常见的形态石墨，它是由众多呈六边形排列的碳原子层叠构成，可否将一个具有六边形结构的大网，通过压力、温度、杂质的变化或激光辐射，令其弯曲构成一个封闭的球状体呢？一开始，克罗托他们都是按照这一思路考虑的。不过当天的晚餐上，他突然想起苏塞克斯家里的一个硬纸板玩具，那是当年为儿子买的星穹模型，隐约记得上面除了六边形还有五边形。
回到临时借居的柯尔家，克罗托再次想起那个玩具，犹豫着是否要给妻子打个电话，让她数一数那个星穹上是否刚好有60个顶点。柯尔劝他不要搅醒夫人的好梦，此时英国那边刚刚黎明，再说哪里会有这么巧的事情。
出席晚餐聚会的另一位结构化学家希思和妻子也没闲着，归途在一家杂货铺买了一袋小熊胶糖和牙签，回到家就迫不及待地搭起模型来：用小熊代表碳原子、牙签代表链接键，先摆出一个与石墨基本结构类似的六边形，然后努力尝试搭出一个封闭结构来，但是无论如何都无济于事。他们的结论是六边形肯定搭不出封闭的结构，肯定还需要什么东西。
斯莫利动手能力最强，回到家先在计算机前忙乎了一阵，试着在屏幕上画出各种三维图形，但是毫无进展。之后干脆放弃了高科技，拿出笔、纸、剪刀和胶水，做起儿童游戏般的手工来。他先剪出一些全等的正六边形，然后边对边地粘合起来，试图拼出一个封闭的球状结构，最终意识到这是不可能的。此时午夜已过，斯莫利却越发没有睡意。他从冰箱里掏出一瓶啤酒，杯酒下肚后突然想起克罗托说的玩具模型来——对，为什么不试一试五边形呢？他又制作了一堆同样边长的正五边形，重新忙乎起来。这一次他从一个五边形开始，在其每条边上粘上一个六边形，这个纸质的结构很容易地向上弯曲成一个碗状。此时斯莫利倍受鼓舞，隐约感觉这种组合是可以重复的。接着他在碗形结构的边缘间隔地添加了5个五边形和5个六边形，从而形成一个半球状的东西。然后他继续添加更多的五边形和六边形，并始终保持着每个五边形的周围有5个六边形的模式，最终拼出一个近似球体的完美多面体结构来。数一数有12个正五边形和20个正六边形，共有60个顶点。没错，这应该就是
第二天一早，斯莫利带上他的杰作前往大学，在路上用电话通知团队所有成员到办公室来。当他把那个熬夜拼接成的纸球扔到咖啡桌上的时候，所有人都惊呆了。克罗托确认自己家中的星穹模型就是这个模样，行事谨慎的柯尔开始检验模型上的碳原子是否满足成键条件。激动人心的时刻到来了：如果将斯莫利模型上的顶点视为一个碳原子，每个碳原子以两个单键和一个双键与相邻的三个碳原子成键链接！
最终大家一致认定这就是他们找到的一种全新碳分子结构
图1. 1985年11月《自然》杂志封面，图题是“ 不仅是一个足球模型 斯莫利的纸模型配键成功后，他想到数学家一定会对如此完美对称的东西感兴趣，于是给数学系主任维奇（William Veech）打了个电话，在描述了这个模型的构造之后，电话那边传来维奇的祝贺。他还不忘补充道：“孩子们，你们发现的，就是一个足球啊！”
其实如果早一点请教维科，化学家们可能会少走些弯路，因为根据多面体的欧拉公式，完全由六边形组成的凸多面体是不存在的。证明不难，假设存在一个由＝
得到
一经点破，众人哭笑不得。是的，一个现代足球就是由20块正六边形和12块正五边形球皮缝制而成，它正好有60个顶点
如果他们能碰上一位懂行的数学史家，可能还会被告知：由两（或三）种全等正多边形围成的多面体叫做半正多面体，据说古希腊阿基米德就已发现共有13种不同的半正多面体，犹如柏拉图或他的学派知道共有5种不同的正多面体一样，后人把这一类立体称作“阿基米德多面体”（Archimedean polyhedra）。化学家们发现的
除了阿基米德，还有一些人也研究过这种多面体，包括15-17世纪的数学家弗朗切斯卡（Piero della Francesca）、帕乔利（Luca Pacioli）、开普勒（Johannes Kepler），以及大画家达芬奇（Leonardo da Vinci）
图2. 达芬奇为帕乔利《神圣比例》（1509）一书所作插图 上个世纪60年代，日本科学家大泽映二（Eiji Osawa）在与儿子踢足球时突然想到，也许会有一种类似足球的碳分子结构，他在1970年就预言了
尽管足球状的几何结构不是克罗托等人首先发现，但是他们的贡献不止是发现了
数字 12 不要以为笔者下面要讲黄道星宫或中国的干支纪年，本文关注的是一般富勒烯的结构。在数学上，富勒烯可以视为由正五边形和正六边形围成的凸多面体，每个顶点对应一个碳原子，假定某种富勒烯由
整理后，得＝
至于顶点数和正六边形个数，不难找到二者间的关系。因为12个正五边形共有60个顶点，＋
从＝
当＝
不存在22个顶点的富勒烯，也就是
从理论上讲，
狮子绣球 回到发现富勒烯的那个夜晚，几位科学家一开始为什么只想到六边形呢？很难想象作为大学教授的他们会不知道多面体的欧拉公式。除了碳的原子序数（6）与石墨的构造（六边形层状）这些化学方面的因素，就数学构造而言，正六边形无疑是最简单和最具对称性的一种多边形，因为它的边长等于半径，对于并非专业数学工作者的他们，尝试构造一种正六边形的网笼似乎是可以谅解的。
在世界各地的艺术品中，常见一种由众多正六边形或经过相邻圆心的众多等径小圆（前者的对偶形式）组成的花纹，中国则常见于雄狮造型中的绣球。狮子虽然不产于中国，大约从东汉时代开始狮子的造型就成为权力、威严和勇猛的象征，宫殿、庙宇以及权贵府邸门前通常安置着一对踞坐的石狮、铁狮或铜狮：左边为雄狮，右脚踩着一只绣球；右边为雌狮，左脚逗弄着一只小狮子。雄狮脚下的绣球通常带有花纹，最早只是十字花或井格花，到了明清两代，逐渐演变成以六边形或六瓣花为主的纹样，如图3和图4。乍一看，外行人很容易以为地面与球面的图案可以完全对应。
图3. 北京故宫宁寿门前的铜铸狮子绣球
（乾隆年间）（作者摄） 图4. 美国宾夕法尼亚大学博物馆藏嵌铜景泰蓝狮子绣球（清代）（作者摄） 上个世纪末，北京故宫乾清门前一座铜铸雄狮脚下的绣球引起匈牙利物理化学家伊斯特凡•哈吉泰（Istvan Hargittai）的兴趣，不久他就以《狮爪下的富勒烯几何学》为题发表了论文
图5. 颐和园东宫门外的铜铸雄狮
（乾隆年间）（作者摄） 图6. 绣球上的测地线十分明显（作者摄） 2014年前后，以色列本-古里安大学的卡茨（Eugene Katz）与台湾大学的金必耀对故宫、颐和园内更多的清代铜狮进行考察，对狮子绣球具有富勒烯结构的观点提出质疑
图7. 乾清门铜狮脚下绣球上的五边形（左）和带有戈德堡向量（2,1）的 如果再仔细观察，可以发现清代狮子绣球上不但有五边形纹路，而且还有三角形、四边形与七边形图形，特别是在靠近地面不那么明显的地方，如图8和图9。因此作者们认为制作它们的工匠从来没有构造出整个球体来，清宫里那些漂亮的狮子绣球，顶多只能算是“类富勒烯”（fullerene-like）球，缺乏数学的精确性
图8. 乾清门前狮子绣球上的各种多边形
沈尧、艾清摄（图源：Katz & Jin，2016） 图9. 养心殿前狮子绣球上的以蓝色标识的七边形沈尧、艾清摄
（图源：Katz & Jin，2016） 接着他们提出了两个问题：第一个是创制这些漂亮的“类富勒烯”器物时，中国工匠是否进行过数学分析，或在某个时期是否存在对这类多面体几何的科学考察？第二个问题是在古代中国是否可能存在一些更早的“类富勒烯”器物？
对于第一个问题，答案基本是否定的，中国古代的工匠不像达芬奇和丢勒那样了解欧几里得几何学，他们只是奉命完成一件雇主（或许是清宫造办处）交付的“皇差”，重要的是狮子形象的威严；退一步讲，如果出于某种原因——无论是宗教的还是皇权方面的，需要制作一个具有完美对称性花纹的球体，聪明的工匠可能早就发现六边形不能覆盖球面的事实了。此外，如果将“某个时期”延后到17世纪也就是西方传教士到来之后，还是存在一些零星的关于规则多面体的研究，例如两位作者提到的清初数学家梅文鼎的工作。
对于第二个问题，笔者曾介绍过一些多面体的器物如骰子和印章
中国古代的足球 狮子在中国属于舶来品，然而作为艺术品的守门狮爪下的绣球却是国粹，其前身就是古代的足球。众所周知，现代足球的竞赛规则与制度出现在英国，但是最早的足球运动却源于中国，可靠的文字记录可以追溯到战国时代，这一点已得到国际奥委会与国际足联的官方认证。本文不拟展开足球在中国发展的历史
踢足球在中国古代有“踏鞠”“蹴鞠”等名称，“踏”和“蹴”都有用脚玩弄或踢的意思，“鞠”就是皮革制作的球。唐人徐坚《初学记》称“鞠即毬字，今蹴鞠曰毬戏。古用毛纠结为之，今用皮。以胞为里，嘘气闭而蹴之。”颜师古注《汉书》称“鞠，以韦为之，中实以毛，蹴踏为乐。”“韦”就是熟牛皮，这句话的意思是说鞠是用熟牛皮制成的，内中填充毛发。所以“鞠”又称“毬”或“毛丸”；《初学记》则肯定充气足球在唐代已经出现。
除了文字记载以外，古代蹴鞠的图像多见于汉代画像砖。蹴鞠不但成为市井百姓娱乐健身的游戏，也进入军旅生活。刘向《别录》称“蹋鞠，兵势也，所以练武士，知有材也，皆因嬉而讲练之”，说明蹴鞠被当做一种训练协同作战和考察战士素质的手段。1976年考古工作者在甘肃马圈湾汉代烽燧遗址中发现了一件小型“毛丸”，内填丝绵，外用麻绳和白绢搓成的细绳捆扎成球形，估计是随军子女的游戏玩物。
随着制革技术的进步，唐代出现了充气的足球，毛发填充物换成了动物尿囊，这就是《初学记》说的“以胞为里，嘘气闭而蹴之”。至于外皮的构造，通常是4片、6片、8片，总的趋势是越来越多，目的是使整体更接近球形。唐人诗咏都城郊外蹴鞠游乐：“六片香皮制作毬，功夫全在脚尖头。长安紫陌繁华地，游遍天涯卒未休。”宋代小说集《太平广记》载晚唐归姓官宦人家子弟作诗嘲讽诗人皮日休：“八片尖皮砌作球，火中燖了水中揉。一包闲气如长在，惹踢招拳卒未休。”不但描绘了足球的构造，而且谈到制作球皮的技艺。
无论充气鞠还是实心鞠，都未见实物留存，以下两图是山东临淄蹴鞠博物馆的仿制展品，显示多片香皮的瓣状连接方式。
图10. 早期4片实心鞠模型
图源：谢维俊，2006 图11. 早期6片实心鞠模型
图源：谢维俊，2006 这里稍微离题谈一下柏拉图描绘的地球形状，他在《裴多》篇中借苏格拉底之口说：“地球从天上看下来，就像那种盖着十二瓣皮子的皮球。地球的表面，不同的区域有不同的颜色。”
图12. 地球仪的瓣状贴面（Johannes Schöner，1523）
纽约市立图书馆收藏 到了宋代，蹴鞠不但在民间大受欢迎，而且成了皇室庆典的表演项目。《水浒》中的高俅固然有夸张虚构的成分，一定程度上也反映了北宋朝野对这一运动趋之若鹜的情况。在“暖风熏得游人醉”的南宋都城临安，出现了世界上第一个足球俱乐部齐云社，其章程“齐云社规”被陈元靓收录于《事林广记》。宋末元初周密的《武林旧事》、元末汪云程的《蹴鞠图谱》对此也都有记载；特别是后书，对社规、礼仪、比赛场地、球队组成、各种脚法和技术要领、当时的球星姓名，以及比赛用球都有详细的描述。明朝中后期则有不明编撰者根据《事林广记》《蹴鞠图谱》《戏毡场科范》等文献史料编辑而成的《蹴鞠谱》，其中汇集了大量不同时代有关蹴鞠活动的诗文，对于了解这一运动的原貌殊为珍贵。
《蹴鞠谱》中有一段关于制鞠细节的内容，从文字看可能出自一位初通文墨但水平不太高的蹴鞠爱好者，内中提到鞠俗称气毬，不同花色的毬名“健色”，制法是“熟硝黄革，实料轻裁，密砌缝成，侵（苴）不漏线脚，嵌缝深窝。梨花可戏，虎掌堪观，测金钱缝短，难缝六叶桃样儿，偏羡斗底银锭，少圆五角葵花”，又称“前人健色正重十四两”。不同的“健色”名目有六锭银、虎掌、人月圆、金锭古老钱、十二银、葵花、天净沙、龟背、十二梅、五角、十二月、六如意、旋螺虎掌、艾叶菊、锁子菊、曲水万字等数十种。
“十二银”“十二梅”“十二月”应该指12块皮子，“梨花”“梅花”“桃花”“五角”似乎对应五边形，“六锭银”“六叶”“六如意”也许指6块皮子，但也可能暗指六边形。如果以上猜测正确，我们可以对宋代出现的某些新式足球作一点更细致的讨论。
宋太祖踢的足球什么样？ 宋代蹴鞠流行，某种程度上与帝王的爱好有关。开国皇帝赵匡胤本是行伍出身，《宋史•太祖纪》称其“容貌雄伟，气度豁如，识者知其非常人，学骑射辄出人上”。《蹴鞠谱》还收录了一首《鹧鸪天》：“巧匠圆缝异样花，身轻体健实堪夸。能令公子精神爽，善诱王孙礼义加。宜富贵，逞奢华，一团和气遍天涯。宋祖昔日皆曾习，占断风流第一家。”
南宋著名画家苏汉臣画过一幅《宋太祖蹴鞠图》，原作已亡佚，幸有元初钱选为后人留下一幅精致的临摹图，纸本设色，画面纵28.6厘米，横56.3厘米，今藏上海博物馆。钱选在画上题跋道：“蹴鞠图旧藏秘府，今摹图之。若非天人革命，应莫观之，言何画哉！”除此之外，画上还有若干收藏者的印章，近代著名书画鉴定家吴湖帆题款为“钱舜举蹴鞠图真迹”。
图13. 钱选临《宋太祖蹴鞠图》
今藏上海博物馆 画面中央身穿白衣的黑脸大汉就是宋太祖赵匡胤，他的玩法类似今日的花式足球，专业术语是“一人场户”，身边五个人分别是他的弟弟赵光义、以及身边近臣赵普、楚昭辅、党进、石守信，他们都热衷此道。
《蹴鞠谱》所收“蹴鞠文”第二篇言：“香皮十二，方形地而圆象天。势若停均，高冲上而低降下。香胞一套，子母合气归，其中巧样五般。”又有《满庭芳》词赞道：“十二香皮，裁成圆锦，莫非年少堪收。”二者提到的“香皮十二”“十二香皮”，应该属于唐代瓣状皮毬的升级版，意在“碎凑十分圆”；但是若按图10、图11或柏拉图所言那样将12块两头尖的弧边皮革连接起来，很难做到“密砌缝成，不露线角”，两个顶点的连接处定会凸起一个线团，也很容易开裂，因此“十二香皮”不会采用桔子瓣那样的形式嵌缝拼合。
细观《宋太祖蹴鞠图》，球面中央有一个正五边形的皮子，其他皮块的形状不够明显，考虑到“碎凑十分圆”的要求，整个球面应该由12个正五边形皮革拼成，正合上引“蹴鞠文”中的“其中巧样五般”，这样不但美观且各方面受力均匀。梅花通常为五瓣，将这种球形称为“十二梅”再恰当不过。
图14. 钱选临《宋太祖蹴鞠图》细部 在数学家眼中，这就是一个正12面体；而在结构化学家那里，则与最小的富勒烯 同构。画中球体的直径，看上去比五边形边长的2倍还要多，与理论数值大抵符合 ，可见钱选（或苏汉臣）是根据实物描绘的。
“难缝六叶桃样儿” 南宋画家马远有一幅更大的《蹴鞠图》，立轴绢本设色，纵115.6厘米，横55.3厘米，今存美国克利夫兰艺术博物馆。此画描绘的场面称为“白打”，不用球门，而以踢出的花样和动作难易为评判标准，画中身份年龄不同的数人正抬头望球，球心可见一个六边形的纹路。
河北省博物院藏有一件白釉黑彩的“童子蹴鞠”瓷枕，出土于邢台市，应是宋金时代物品。枕面是一个正在全神贯注踢球的小童，球心上的六边形也十分明显。
《蹴鞠图谱》中的几幅插图也都大致相同。中国画家不讲究透视方法，通常只是勾出主要对象的线图，因此我们无法确认以上球体可见图纹之外的构造是什么样的。
图18. 清刻本《蹴鞠图谱》插图之一 图19. 清刻本《蹴鞠图谱》插图之二 下图是作者在临淄蹴鞠博物馆拍摄的两个仿制模型，图20就是《宋太祖蹴鞠图》中的“十二梅”，图21可能是专家们设想的带有六边形的足球吧？它是对纯瓣状构造的改进，避免了众多尖头聚集两端的弊病，但其侧面仍然是长条瓣状，对于均匀对称的要求不尽人意。
图20. 由12块正五边形皮料缝成的足球模型 临淄蹴鞠博物馆（作者摄） 图21. 带有正六边形的足球模型 临淄蹴鞠博物馆（作者摄） 宋代手工业发达，加上民众喜爱，制鞠行业一派繁荣，从《蹴鞠谱》所引“健色”名目就可窥一斑，匠人们必定会尝试创制新式花色来满足不同阶层的顾客。“难缝六叶桃样儿”的一个合理解释或许是：制鞠匠人们通过实践发现，没法仅用六边形皮料制成一个足球。
笔者则想到另一种可能：桃花、梅花、梨花等一般均为五瓣，诗句的意思是说在由五边形围成的球体（如“十二梅”）中嵌入六边形是一种高超技艺。这样来理解“难缝六叶桃儿样”，就引出下面的有趣猜想。
如果在类似“十二梅”（正12面体）的两头各嵌缝一个“六叶”（正六边形），就构成一个类似富勒烯
图22. 富勒烯 图23 富勒烯 类似地，如果在“十二梅”的表面对称地嵌缝三个“六叶”，就成了一个由12个正五边形与3个正六边形围成的规则多面体，其形状与富勒烯
图24. 富勒烯 图25. 富勒烯 进而言之，如果在“十二梅”的20个顶点处各嵌缝一个“六叶”，就成了克罗托们发现的富勒烯
当然这些都还缺乏出土实物的依据，只是存在理论上的可能性。不过在笔者看来，图22那样的“健色”出现的可能性很大，至少比图21那种准瓣状拼接的球体更漂亮更结实，充气后也更为圆润。说句俏皮话，马远的画、磁州窑枕和《蹴鞠图谱》插图中的足球，或许就是这种放大了数亿倍的富勒烯
宋代以来的绘画中还有许多蹴鞠图像，有名的有辽代《蹴鞠图》、苏汉臣的《长春百子图卷》、明代杜堇的《仕女蹴鞠图》、仇英的《清明上河图》、以及文征明、黄慎与流传海外的多种摹本，内中许多皮毬上的纹路并非正多边形，而是对应《蹴鞠谱》中提到的“虎掌”“龟背”“金钱”“如意”等，本文就不赘述了。
作者感谢台湾大学化学系金必耀教授和香港故宫文化博物馆周维强博士提供的建议和资料。
作者简介 刘钝，中国科学院自然科学史研究所研究员，曾任该所所长、中国科技史学会理事长与国际科学技术史学会主席。
注释
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