动点最值：一道综合性极强的有关圆的几何求最值问题。技巧性强！

趣味数学题 · 公众号 · · 2024-03-25 15:38

正文

题目：

如图，点P是圆O直径上一点，∠A+∠B=90度，PM⊥BC，PN⊥AD，若BC=8，AD=6，那么√(PM²+PN²)的最小值？

解法1：
如图，连AC，BD，
∠BAD+∠ABC=∠ABC+∠BAC=90，
∠BAC=∠BAD，
Rt▲ABC≌Rt▲ABD，
AC=AD=6，AB=10，
∠BAD+∠ABC=∠ABC+∠BPM=90，
∠BAD=∠BPM，
Rt▲BPM∽Rt▲APN，
sin∠ABC=3/5，
cos∠APN=cos∠ABC=4/5 ，
设BP=a，AP=10-a，
PM=3a/5，PN=4/5(10-a)，
PM²+PN²=(3a/5)²+[4/5(10-a)]²
=(a-32/5)²+576/25，
当a=BP=32/5时，√(PM²+PN²)=24/5。

解法2：

如图，连接AC，
设：∠CAB=α，圆O半径为R
结合∠BAD=∠B，
∴∠DAB=∠CAB=α，
cosα=(AD/2)/(AB/2)=3/R,
sinα=BC/AB=8/(2R)=4/R,
∴(3/R)²+(4/R)²=1，解得R=5，
则：sinα=4/5，cosα3/5,
∴√(PM²+PN²)
=√(PB²×cos²α+(AB-PB)²×sin²α)
=√(PB²×cos²α+AB²×sin²α-2·AB×PB×sin²α+PB²×sin²α)
=√(PB²+100×sin²α-20×PB×sin²α)
=√(PB²+100×16/25-20×PB×16/25)
=√[(PB-32/5)²+576/25)]
≥24/5。

解法3：

如图，连AC、BD，作PE⊥BD，连PD、NE，
α+β=90°，PNDE为矩形，PM=PE，
PM²+PN²=PE²+PN²=NE²=PD²，
当PD最小时，即PD⊥AB时，
√(PM²+PN²)最小，
AAS可证▲ABC≌▲ABD，
BD=8，AB=10，
当PD⊥AB时，PD=24/5，
故√(PM²+PN²)min =24/5。