罗素《数学原则》全译本（5）：纯粹数学的定义

一、纯粹数学的定义

1. 纯粹数学（pure mathematics）是形式为“ 蕴含 ”的所有命题的类，其中与是包含一个或多个变元（二者中的变元相同）的命题，且与中都不包含除逻辑常项外的任何常项（constant）。逻辑常项是根据以下方式定义的概念：蕴涵（implication）、项（term）与其所属类的关系，使得（such that）的概念、关系的概念以及有可能包含在以上形式命题的一般形式中的其它概念。此外，数学使用（use）一个并非其所关注的命题的成分的概念，即真的概念。

2. 毫无疑问，上述给出的关于纯粹数学的定义有些不同寻常。尽管如此，其诸成分都可以被精确地证明——提供这些证明即本书的任务所在。我们将会发现，凡已被当作纯粹数学的内容都包含在我们的概念中，而凡包含在我们概念中的其它内容，都具有数学在通常意义上（虽然模糊）区别于其它学科的标志。该定义自诩并非随意赋予一个寻常词语以非同寻常的含义，而是对一些概念的精确分析，这些概念以或多或少不被察觉的方式，隐含在我们的日常用语中。因此，我们采用的方法是一种分析，而我们处理的则是一些哲学问题；从这种意义上，也就是说，我们寻求从复合到简单，从可证明的前提到不可证明的前提。但从一方面来说，我们的为数不少的讨论与通常意义上的哲学讨论有所不同。由于数学家所取得的成绩，对于绝大多数关注的问题，我们都能得到确定的结论；而在那些能够得到精确回答的问题中，我们将会发现，其中的许多问题过去都曾被卷入哲学争论的所有传统意义上的不确定性中。数（number）、无穷（infinity）、空间、时间与运动的本质，以及数学归纳法的本质，都是本书中将会给出其数学确定性证明的问题——然而，这些问题的答案在于将上述问题还原为纯粹的逻辑问题，它们在后续的工作中并未获得令人满意的解决方案。

3. 迄今为止，（对于）数学哲学的研究与其它哲学领域（的研究）一样，始终是具有争议、含混不清且缺乏进展的。尽管“数学是某种意义上的真”的说法被广泛承认，然而，关于数学命题的确切含义，哲学家们依然争论不休：即使有些东西是真的，对于什么才是这些为真的东西的问题，没有两个人的意见是相同的；即便是了解到某些问题，同样没人能说清楚他们究竟了解到了什么。然而，只要这点仍然存疑，我们就很难得出结论，在数学中我们获得了任何确定且精确的知识。据此我们发现，理念论者（idealists）愈发倾向于将所有数学视为仅仅处理表象；而经验论者们（empiricists）则认为，一切数学都是之于某种精确真理的迫近对于这种真理他们则一无所知。必须承认，这种情形是完全无法令人满意的。哲学问数学：什么才是数学命题的含义？长久以来，数学无法给出答案，哲学的回答则是搬出一些毫不相关且与心灵有关的概念。不过，数学现在能够回答这个问题，至少是在将全部数学命题还原为若干逻辑基本概念的情况下。这里，对于这个问题的讨论应该回归哲学。我将尝试列出涉及的基本概念，详尽论证数学中不存在其它基本概念，并扼要指出分析这些概念时涉及的哲学困难。对于这类困难的详尽讨论需要一本逻辑专著，而不是本书所要讨论的问题。

4. 直到最近，数学原则中仍然存在一处特别的困难。显而易见，数学是由演绎构成的，但是对于演绎的正统解释在很大程度上（或者说完全）不适用于现有的数学。不仅是亚氏三段论（Aristotelian syllogistic theory），同样包括现代符号逻辑学说，要么在理论上不足以支持数学推理，要么至少需要像是“它们无法实际应用”这样的人工形式的声明。这一事实即康德式观点的力量所在，它断言数学推理并非严格形式的，而是始终使用直觉的，即关于时空的先天知识。得益于符号逻辑（symbolic logic）的进步，特别是来自皮亚诺教授的贡献，对于这部分的康德哲学，现已形成了最终且不容置疑的反驳。借助十条演绎原则以及另外十条一般逻辑性质的前提（例如“蕴涵是一种关系”），所有数学命题都可以被严格且形式地演绎推出；出现在数学中的所有实体都可以通过出现在以上二十条前提中的实体来定义。这里所说的数学，不仅包括算术与分析，同时泛指包含欧式与非欧几何、有理动力学（rational Dynamics）以及其它无穷多尚未诞生或处于新生阶段的学科在内的研究。“所有数学都是符号逻辑”这一事实是我们这个时代最伟大的发现之一；当这个事实被确立以后，余下的数学原则仅仅在于对于符号逻辑本身的分析。

5. “所有数学都是从逻辑原则中，根据逻辑原则进行的演绎”的一般性学说是由莱布尼兹（Leibniz）强烈主张的；他始终敦促公理应被证明，并且除了少数基本概念之外，所有的概念都应被定义。然而，部分归咎于错误的逻辑，部分归咎于笃信欧氏几何的逻辑必然，在尝试详述他的一个观点时，莱布尼兹陷入令人绝望的谬误中；这种观点的概要现在看来是正确的。例如，欧几里得的实际命题并不仅仅来自于逻辑原则；洞悉这一事实造成了康德在认识论中的革新。然而，伴随非欧几何的发展，纯粹数学似乎已不再关心“欧式几何的命题或公理是否适用于实际空间”的问题：这是应用数学需要决定的问题（只要任何决定是有可能的），并且只能通过实验或者观察来决定。纯粹数学断言的不过是，欧式几何命题是从它的公理中推出的——换句话说，它断言以下的蕴涵（implication）：任何具有这样那样性质的空间，同样具有那样这样的性质。因此，站在纯粹数学的角度，欧氏几何与非欧几何同等正确：除蕴涵外，每一个（命题）其实什么都没有断言。所有关于实际存在物的命题——像是我们所处的空间一样——全都属于实验或经验科学，而不属于数学；当它们属于应用数学时，它们产生于为纯粹数学命题中的一个或多个变元赋予满足假定的常值，使得实际上我们能够对于变元的那个值同时断言（蕴涵中的）假定（hypothesis）与后件（consequent），而不仅仅断言蕴涵。在数学中，我们总是断言如果某个断言对于任何实体或者任何一组实体、、…为真，那么，另外某个对于这些实体的断言为真；不过，我们不会单独断言我们的实体或。我们断言作为断言的与之间的一种关系，我称之为形式蕴涵（formal implication）。

6. 数学命题的特征事实不仅在于它们断言蕴涵，同样在于它们包含变元（variables）。变元的概念是需要通过逻辑处理的最困难的概念之一，尽管关于它的讨论很多，但本书中依然无法找出一种令人满意的关于变元的本质的理论。就目前而言，我希望说明的只是——所有数学命题中都包含变元，即使那些乍看之下似乎不含变元的命题。初等算数或许会被视为一个例外：看起来既不包含变元，也未断言一个蕴涵。但事实上，正如第二部分中将要指出的，该命题的真正含义是：“如果是一且是一，且与是不同的，那么和（and）是二。”这样，该命题就既包含变元，同时也断言一个蕴涵。在所有数学命题中，我们经常会发现像是任何（any）或者某个（some）这类字眼的出现；这类字眼恰好是一个变元与一个形式蕴涵的标记。因此，上述算术命题可以改写成为以下形式：“任何单元（unit）和另一个单元都是两个单元。”典型的数学命题具有这样的形式：“蕴含 ，不论其中的变元、、、…的取值”；其中的与对于，，，…的每组值都是命题。它不是在断言始终为真，也不是在断言始终为真；而仅仅是在断言，在所有情况下，无论的真值，即使是当它为假时，都是由推出的。变元（variable）与常项（constant）之间的区别在一定程度上被数学的使用模糊了。例如，习惯上我们会将参数（parameters）当成某种意义上的常项，然而这是一种应予以拒斥的做法。常项是一种绝对确定的东西，关于它不存在任何意义上的含混。因此，、、、、、苏格拉底都是常项；同时，人，以及作为集体考虑的过去、现在与未来的人类也是常项。命题（proposition）、蕴涵（implication）、类（class）等等也是常项。但是，一个命题（a proposition）、任何命题（any proposition）、某个命题（some proposition）不是常项；因为这些短语并不指称（denote）一个明确的对象。因此，所谓的参数不过是变元。以等式  为例，它被视为平面中一条直线的方程。这里，我们称与为变元，、、为常项。不过，除非我们处理的是一条绝对特殊的直线，比如从伦敦的某个特定点到剑桥的某个特定点的直线，我们的、、将不是确定的数，而代表任何数（any number），因而也是变元。在几何中，没有人处理实际的特殊直线；我们讨论的始终是任意直线。重点在于，我们将诸二项组、纳入二阶类中（classes of classes），其中的每个类都被定义为那些之于一个三项组（triad）有某个固定关系的二项组（couple）。但是，根据类的不同，、、也会相应地变化，因此是适当的变元。

7. 数学中习惯的做法是将我们的变元视为限定于某些类中：例如，在算术中，变元应代表数。不过这仅仅意味着，如果它们代表数，那么它们将满足某一项式，即“它们是数”的假定蕴涵这个项式。这（蕴涵）才是算术命题真正断言的内容，在这个命题中，“我们的变元应该是数”不再必要：当它们不是数时，该蕴涵同样成立。因此，例如，如果我们分别以苏格拉底（Socrates）与柏拉图（Plato）来代替与，那么命题“与都是数”同样成立：在此情况下，假定与后件将同时为假，但该蕴涵仍然为真。因此，在任何纯粹数学命题中，当它被完全陈述时，它的变元具有绝对不受限的定义域：任何可以设想的实体都能取代其中的任何一个变元，而不损害我们的命题的真。

8. 现在，我们可以理解为什么数学中的常项在上述定义的意义上被限定为逻辑常项了。将命题中的常项转化为变元的过程造成了所谓的一般化，同时给予我们命题的形式本质。数学只对命题的类型（types）感兴趣；如果提出一个只含常项的命题，并且对于该命题中的一项，让我们设想其它项相继得到替换，其结果通常是有时为真，有时为假。例如，我们有“苏格拉底是一个人（Socrates is a man）”；这里，我们将苏格拉底替换为一个变元，并且考虑“是一个人”。一些关于的假定——例如“是一个希腊人（ is a Greek）”——将确保“是一个人”的真；因此，“是一个希腊人”“是一个人”，且该蕴涵对于的所有值都成立。不过，该陈述并非一个纯粹数学命题，因为它有赖于希腊人与人的特殊性质不过，我们依然可以做出如下改变并得到：如果与都是类，且，那么“”“”。至此，我们终于得到了一个纯粹数学命题，其中包含三个变元以及作为常项的类（class）、包含（contained in）与那些涉及在具有变元的形式蕴涵概念中的常项。只要我们命题中的任何项还能转化为变元，我们的命题就可以被一般化；只要一般化还是可能的，这就是有待数学完成的工作。如果存在若干演绎链，它们只在符号含义上有所不同，那么符号上相同的命题就有可能具有多种解释，从数学上说，正确的做法是给出可附加于符号上的含义类，并断言所讨论的公式源自符号属于所考虑的类的假定。这样，代表常项的符号就会转换为变元，新的常项被替换，它们是由旧常项所属的类组成的。这种一般化的情况是如此频繁，以至于数次将立即发生在每位数学家身上，本书中将给出海量的实例。每当两组项（two sets of terms）具有相同类型的关系时，相同形式的演绎将适用于二者。例如，欧几里得平面中点的相互关系与复数（complex numbers）的相互关系具有相同的类型；因此，作为纯粹数学的分支考虑的平面几何，不应决定它的命题中的变元究竟是点还是复数，或是其它具有相同类型的相互关系的实体组。一般说来，在数学的任何分支中，我们都应处理相互关系为一个特定类型的任意实体类；因此，这个类与所考虑的特殊项成为变元，唯一真正的常项只有关系的类型以及关系中涉及的内容。在本书的论述中，关系的类型指的是这样一个关系类，其特性是关于该类的诸成员的演绎的上述形式同一性是可能的；因此，就像是将于下文中更为充分显示出的（即使现在还不明显）那样，关系的类型始终是一个可以通过逻辑常项定义的类。因此，我们可以将一种关系类型定义为这样一个关系类，它是由仅凭逻辑常项就可定义的某个性质来定义的。

9. 因此，除逻辑常项以外，纯粹数学中一定没有任何不可定义的概念，因而也没有任何前提与不可证明的命题，只有与逻辑常项以及变元相关的命题。正是这一点区分了纯粹数学与应用数学。在应用数学中，由纯粹数学证明的结论是根据关于变元的某个假定得出的，而实际上这个结论断言的是某个常项满足所讨论的假定。因此，（纯粹数学中的）作为变元的项变成了（应用数学中的）常项，并始终需要一条新的前提：这个特殊的实体满足所讨论的假定。例如，作为纯粹数学的一个分支，欧氏几何完全是由具有假定“是一个欧氏空间”的命题组成的。如果我们进一步指出：“实际存在的空间是欧式的”，这种说法将使我们能够断言实际存在的空间是构成欧氏几何的所有假定的后件，其中的变元被作为常项的实际空间（actual space）代替。但通过这种方式，我们就从纯粹数学进入应用数学的领域。

10. 根据以上的描述，数学与逻辑之间具有极为紧密的联系。我相信，“所有数学常项都是逻辑常项，且所有数学前提都与它们（逻辑常项）相关”的事实，精确陈述了哲学家的“数学是先验的”断言的含义。事实上，一旦采用逻辑工具，所有数学必然会由此得出。逻辑常项本身只能通过罗列的方式定义，因为这些概念是如此的基本，以至于有可能被用来定义逻辑常项类的所有性质本身都前提假定了该类中的一些项。但事实上，发现逻辑常项的方法是对于符号逻辑的分析，这将是随后几章的内容。数学与逻辑之间的区别是非常随意的（arbitrary），然而如果必须给出区别，那么以下的方式是可行的。逻辑是由数学的前提连同其它一些命题组成的，这些命题只与逻辑常项与不满足上述数学定义的变元有关（第1小节）。数学是由以上前提的所有后件组成的，这些后件断言的是包含变元的形式蕴涵，以及具有这些标志的前提本身。因此，数学的一些前提，例如三段论原则（principles of syllogism），“如果且，那么”，将是属于数学的；而其它的，如“蕴涵是一个关系”，则是属于逻辑而不属于数学的。然而，出于对使用习惯的尊重，我们可以将数学等同于逻辑，并将其中的任何一方定义为“只含逻辑常项与变元的命题类”；然而，对于传统的尊重使我在承认某些命题属于两门学科的同时，仍然坚持以上的区别。

从本章的内容中读者可以了解到本书的两个目标，第一，证明所有数学都可以从符号逻辑中推出；第二，尽可能地探究符号逻辑自身的原则。第一个目标将在随后的各部分中讨论，第二个目标则属于第一部分。首先，作为批判性分析的初步准备（preliminary），有必要给出仅被当作纯粹数学分支的符号逻辑的大纲（outline of Symbolic Logic considered simply as a branch of mathematics）。这将是下面一章的内容。