天才数学家肖刚于2014年6月27日去世，肖刚昔日的室友、著名数学家单墫(肖与单同是江苏人)写了追忆文章“忆肖刚”，以白描的手法记述了肖刚过人的天赋和重情义。单墫老师是我们很多人崇拜的偶像，而单墫老师自认为肖刚“才力胜我逾十倍”，可见肖刚确实是不一般的天才。文章中讲到肖刚用同调代数中的一幅图解释了两种不同的解决问题方式，如下图：
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下面引用“忆肖刚”原文如下：
“(从图中左下角到右上角)一种方式是先在平地上向前，然后艰难地向上攀登。另一种是先将理念(观点)上升到一定高度，然后在天上行走，如履平地。
肖刚的观点极高，所以做任何事情都很容易。”
在较高的数学观点之下，有些很困难的数学问题就会变得很容易，解决也更具有通用性。下面以一个具体问题的解决来加以说明。问题来源于刘培杰主编的《500个最新世界著名数学智力趣题》(哈尔滨工业大学出版社，2006)，题目是“幸运的摹本所有者”，原题如下：
“某学校的墙上挂着一张矩形的地图。某学生有一张类似的地图，它是把墙上的地图精细地画在矩形透明纸上的较小的摹本。在自己的同学面前，这个学生夸耀说，不管多少次，也不管在什么位置，把这幅摹本复到学校的地图上去的话，总可以在这张图上找到一个点，使学校地图上与它重合的点对应于同一个地方。甚至在不是正放，而是斜放(即两张图的边缘不平行)时也是如此。
这个幸运的摹本所有者的结论对吗？”
简单点说，有两幅比例不一样的地图，现将小地图随便放在大地图上，那么总有一个地点是重合的，即“不动点”。
原书给出了摹本和原地图在正位似、反位似和斜放等三种情况下，不动点的求法，其中前两种两幅地图对应边是平行的，不动点即位似中心O，图1的O为正位似中心，图2的O为反位似中心。
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小地图斜放的情况下，原书求不动点的过程很简单，但证明较复杂，照抄太麻烦，拍照如图3。
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下面我们从几何变换的角度来分析，用复数法求不动点O。小地图的位置可以由下述两个过程产生：首先以某一点作为位似中心，将大地图等比例地缩小为小地图；然后以位似中心作为旋转中心，将小地图旋转到斜放的位置，这两个过程用复数很容易表示出来。
首先任意建立复平面坐标系。设所求的不动点为O，以O为位似中心，将大地图ABCD缩小为小地图A1B1C1D1，然后以O为旋转中心，旋转一个适当的角度θ，得到斜放的小地图A´B´C´D´。设小地图与大地图的尺寸之比为0
将OA1顺时针旋转角度θ后，A1与A´重合，其他对应三点也分别重合，这时有
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将①代入②，即得
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由③即可解得
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求出不动点O，将④式代入③中，可以求出旋转角度θ。
由上述O点的求法，容易知道就是所求的不动点。
由于两幅地图都是正面朝上的，即A→B→C→D和A´→B´→C´→D´都是逆时针的，因此只要知道一幅图的两个不同点的位置，整个地图的位置就唯一确定。实际上，代数求法只需要两对对应点A、A´和B、B´，就可以求出不动点，而原书需要四对对应点才能求出不动点。
如果两幅地图是正面“相对”摆放的，那么情况稍微复杂一点，最后增加一个翻转的过程，这里不详细讨论。
上述代数的方法看起来麻烦，但是更具有通用性。如果地图换成其他形状比如梯形、三角形甚至是不规则形状，而不是长方形，那么在斜放的情况下求不动点将比较麻烦，而上述公式④具有通用性，只要在两幅图中任找对应的两对点，就可以求出不动点。
从纯几何法向复数法过渡，我们认为是一种进步，不动点的求法更抽象、更有通用性。下面我们更进一步，用抽象代数中的压缩映射原理证明不动点的存在性，这种方法不能具体地求出不动点，但是具有更高的抽象性，因而可以解决类似的更困难的问题。
首先引用著名的压缩映射原理：
“在完备的度量空间中的压缩映射，必然有唯一的不动点。”
下面用压缩映射原理证明两幅地图中不动点的存在。
小地图在大地图上覆盖的区域A1，对应着小地图上一个小的区域B1，这两个区域的点是一一对应的，显然有无穷个对应点。
小地图上B1对应的区域，覆盖大地图上一个区域A2，A2对应于小地图上的B2，显然A2 包含于A1， B2 包含于B1，而A2和B2都包含有无穷多个点。
将以上过程无限进行下去，就得到两个集合序列{An}和{Bn}：
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并且对于任意n，都有An = Bn。因此，至少有一个点同时属于集合An和Bn，即所求不动点。
抽象代数的方法似乎很玄、很抽象，因为没有给出具体的不动点求法，但正因为抽象，所以能解决更困难的问题，比如用上述抽象代数的方法，很容易证明如下不动点问题：
有两幅一模一样的地图(大小可以相同，也可以不同)，将其中一张揉成一团，随意丢在另一张上，揉成一团的地图上每一个点都在另一张地图上有一个投影，即对应点，那么一定存在一个点，原来是对应的，现在仍然是对应的，即“不动点”。
--以此文章纪念天才数学家肖刚
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