高中数学题：写出曲线C的极坐标方程

【题目】 如图所示，在直角坐标系 中，曲线 由中心在原点，焦点在 轴上的半椭圆和以原点为圆心，半径为 2 的半圆构成，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .

（ 1 ）写出曲线 的极坐标方程；

（ 2 ）已知射线 与曲线 交于点 ，点 为曲线 上的动点，求 面积的最大值 .

【答案】 （ 1 ） ， ；（ 2 ） .

【解析】

（ 1 ）分别写出曲线 的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；

（ 2 ）把射线 代入曲线 的极坐标方程，求得点 的极经，然后写出 的面积，求得其最大值即可 .

（ 1 ）由题设可知，曲线 上半部分的直角坐标方程为 ，

所以，曲线 上半部分的极坐标方程为

曲线 下半部分的直角坐标方程为 ，

所以，曲线 下半部分的极坐标方程为 ，

故曲线 的极坐标方程为 ， .

（ 2 ）由题设，将 代入曲线