专栏名称: 好玩的数学

好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。

灵机一动 | 第326期符号操作

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2017-10-17 07:10

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 326

符号操作

如图所示，有两个填有“+”、“-”的方格，能不能经过若干次符号操作之后将（a）变成（b）？要求每一次操作要么将整行的符号改变，要么将整列的符号改变。

★ 右下角 写留言 开始答题，鼓励大家把思考的过程写出来。

★ 如果想不出来，可以转发朋友圈向朋友求助哦！答案将在下期公布。

★ 公众号中回复 题友会 申请加入题友会微信群，与题霸们一起刷题。

上期问题回顾

NO. 325

方框填数

把数2～9不重复地填入上式的方框内，使式子成立，问有几种方法。

分析与解答

答案：不存在质数。

在解这个题之前，我们先来回顾一下分数是如何相加的。

分数相加，如果分母相同，则分母不变，只要将分子相加即可。如果分母不同，则需要先通分，变成分母相同的分数，再相加。而通分需要做两件事情：第一，求分母的最小公倍数，即将分母分解质因数后取素因子的最高次方的乘积；第二，每一个分数的分子和分母同时乘一个数（保证分数不变）。

对于本题来讲，考虑到2~9中，5和7为质数且没有一个数是5或7的倍数，那么5和7必须放在分子。为什么呢？以5为例。假设5放在某一个分数的分母中，由于另两个分数的分母中不含有5，所以通分之后，分母中必含有因数5，且另两个分数的分子都要乘以5，所以另两个分数的分子之和是5的倍数，而分母放5的那个分数的分子不含5，所以左边三个分数相加之后分子不是5的倍数，而分母是5的倍数，约分之后不可能等于1。同理，7放在分母时也不行。因此，5和7只能放在分子。

另外，考虑到9是3的二次方，那么3和6必须放在同一个分母中，否则跟前面的讨论一样，左边三个分数通分之后相加会出现分母是3的倍数，而分子不是3的倍数的情况，约分之后不可能等于1。

同理，考虑到8是2的三次方，那么2和4必须放在同一分母中。

经过尝试发现满足条件的式子只有下面一个：