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本文是针对论文《 下行风险和资产截面收益（Downside risks and the cross-section of asset returns）》的一篇解析，该论文2018年3月发表在《金融经济学杂志（JFE）》上。该论文作者 Farago, A. 和 Tédongap, R. 分别来自 University of Gothenburg 和 ESSEC Business School Paris-Singapore。
一、研究背景与问题提出
本文研究的是包含了失望厌恶（区别于损失厌恶）和宏观不确定性的跨期均衡资产定价模型。作者发现三个和失望相关的因子被定价了。本文结合新因子构建的五因子模型展现了良好的解释力和收益表现。
下行风险是指资产或投资组合在经济形势不利的情况下所面临的风险。投资者对损失的不确定性和收益的不确定性中格外厌恶前者，这一理念已经被广泛接受。从而启发了在险风险和预期损失等指标的研究。下行风险应该被纳入资产市场均衡的框架。
作者采用广义失望厌恶偏好，检验了纳入了时变的宏观经济不确定性后的基于消费的截面资产定价模型。此时，投资者不仅从市场收益和市场波动率中获得溢价，还从与失望相关的风险因子上获得溢价。作者共总结出了三个因子，结合之前的两因子（市场收益率，市场收益率波动），作者构建了五因子组合，同时提出，当投资者具有无限的跨期替代弹性时，市场波动率将无效，并进一步从五因子组合退化为三因子组合。
值得强调的是，本文与市场异象驱动的从而发现因子的过程不同，本文的研究表明了失望相关的风险在资产截面收益上的重要性。
二、理论与实证分析
作者经过一系列的分析，推导出本文的截面线性因子模型：
其中：
第一行代表市场收益率和资产收益率的协方差，第二行代表资产收益率和判断市场上下行的指标（上行记为0，下行记为1）的协方差，第三行是资产收益率与市场下行收益率的协方差，第四行是资产收益率与市场波动率的协方差，最后一行是市场收益率与市场下行收益率的协方差。
本文重点关注的是第二行、第三行和最后一行三个因子。
P代表回归方程中的系数，从左往右的符号应该为“+ - + - -”，这是从理论上推导得到的结果。投资者总是会从承担更多的风险和波动的角度要求更高（正向）的风险溢价。而资产收益率如果与市场下行呈负相关，即市场上行时资产反而能得到负收益，这种资产会被投资者厌恶，此时投资者需要补偿，所以第二项的系数是负的。
当市场替代弹性无穷大的时候，波动率对资产收益的影响消失，即最后两项的系数应当为零。
考虑到因子模型的格式，作者在本文中检验了三因子模型和五因子模型，前者考虑无线替代弹性，后者考虑有限的替代弹性：
本文不仅采用了多个股票集合作为样本，还考虑了指数期权和货币。使用日度数据构建月度的已实现波动率，这种方法非常方便因为只需要日度的市场收益率序列，同时我们可以使用一个足够长的样本区间，在稳健性检验中作者考虑了日内高频数据和VIX指数等。
表1展现了采用CAPM模型和本文的三因子和五因子构建的资产定价模型检验了美国股票组合。组合收益率序列来自于 Kenneth French 的主页。容易看出，表中因子的系数的符号与最初预期的相同。
表2表现了对包含了指数期权和货币和股票的投资组合分别检验不同资产定价模型溢价。结果和表1相当一致。说明本文提出的三因子和五因子模型不仅在股票市场有效，考虑其他类别的资产也是一样的。同时在所有的资产组合中，三因子模型胜于CAPM模型，五因子模型又在三因子模型的基础上有着显著改善。这进一步说明了本文模型的优越性。
图1表明了预测收益和实际收益时间点关系，同样可以看出，三因子模型和五因子模型显著的提高了预测的准确性，和真实值之间的差异显著变小了。
在图2中作者重点关注NBER给定的衰退时期的市场收益率、市场波动、消费增长的变化。本文定义的“失望”月份中只有13.7%不在衰退时期，这说明衰退和“失望效用“之间是正相关的。这三张图作者想表明的是，市场衰退、市场波动率、消费下降与本文定义的三个因子是有紧密关系的，本文从失望厌恶函数和基于消费的资产定价模型的设置是可靠的。在实证中也有显著的联系，而并非只留存于理论推导。
表3中，作者考虑市场并非被完美定价，换句话说，增加了截距项α。同样，三因子和五因子中因子的符号与一开始理论分析的结果仍然一致，并且，表现比要求市场被完美定价更好。
表4中作者考虑了一个替代模型，不仅对比CAPM模型，考虑了Carhart四因子模型等其他因子模型，相比较而言，本文提出的三因子和五因子模型定价误差更小，包容性更强，不仅在股票组合上有效，在其他资产类别上也表现良好。
为了更好的检验模型的有效性，我们区分了训练集和测试集对模型的有效性进行检验。
表5中汇报了结果，添加了阴影的是用以估计因子的风险溢价的组合，简单来说，作者从一个数据集中估计出因子的风险溢价，再假设另一个数据集中因子的风险溢价保持不变，以及来观测组合的有效性。表中回报的是模型对收益预测的预测误差，可以看到，作者提出的三因子和五因子组合的误差在大多数时候是最小的，且显著优于其他组合。
在稳健性检验中，作者首先考虑包含了更多资产类别的投资组合。
如上图所示，本文重点关注的因子的符号仍旧没有发生改变，同时风险溢价显著。
进一步，在本文前半部分中对于”失望“收益的定义中作者给定了外生参数是超额收益率低于-0.03%， 作者放宽了这一限制，考虑更高或是更低的”失望“价格。结果放在了作者网页上的附录中。
正如前面提到的，作者考虑更多的描述市场波动的指标，比如VIX和日内已实现波动率，结果仍然和本文已呈现的结果相似，过程也放在了网页上的附录中。
三、结论
本文从下行风险的角度，考虑了基于消费的资本资产定价模型，并同时考虑了宏观经济不确定性和资产收益之间的关系。从失望效用函数的角度出发，作者提出的新三因子模型和五因子模型不仅解释力更强，包含的资产类别也更多。
