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参数估计：最大似然、贝叶斯与最大后验

算法与数据结构 · 公众号 · 算法 · 2016-11-14 09:09

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来自：GUANGCHUN
链接：https://guangchun.wordpress.com/2011/10/13/ml-bayes-map/（点击尾部阅读原文前往）

中国有句话叫“马后炮”，大体上用在中国象棋和讽刺人两个地方，第一个很厉害，使对方将帅不得动弹，但这个跟我们今天说的基本没关系；第二个用途源于第一个，说事情都发生了再采取措施，太迟了。但不可否认，我们的认知就是从错误中不断进步，虽然已经做错的不可能变得正确，但“来者尤可追”，我们可以根据既往的经验（数据），来判断以后应该采取什么样的措施。这其实就是有监督机器学习的过程。其中涉及的一个问题就是模型中参数的估计。

为什么会有参数估计呢？这要源于我们对所研究问题的简化和假设。我们在看待一个问题的时候，经常会使用一些我们所熟知的经典的模型去简化问题，就像我们看一个房子，我们想到是不是可以把它看成是方形一样。如果我们已经知道这个房子是三间平房，那么大体上我们就可以用长方体去描述它的轮廓。这个画房子的问题就从无数的可能性中，基于方圆多少里大家都住平房的经验，我们可以假设它是长方体，剩下的问题就是确定长宽高这三个参数了，问题被简化了。再如学生考试的成绩，根据既往的经验，我们可以假设学生的成绩是正态分布的，那么剩下的问题就是确定分布的期望和方差。所以，之所以要估计参数，是因为我们希望用较少的参数去描述数据的总体分布。而可以这样做的前提是我们对总体分布的形式是知晓的，只需要估计其中参数的值；否则我们要借助非参数的方法了。

参数估计的方法有多种，这里我们分析三种基于概率的方法，分别是最大似然估计（Maximum Likelihood）、贝叶斯估计（Bayes）和最大后验估计（Maximum a posteriori）。我们假设我们观察的变量是，观察的变量取值（样本）为 $\mathcal{D}=\{x_1, ...,x_N\}$ ，要估计的参数是 $\theta$ ，的分布函数是 $p(x|\theta)$ （我们用条件概率来显式地说明这个分布是依赖于 $\theta$ 取值的）。实际中，x和 $\theta$ 都可以是几个变量的向量，这里我们不妨认为它们都是标量。

最大似然估计 ML

“似然”的意思就是“事情（即观察数据）发生的可能性”，最大似然估计就是要找到 $\theta$ 的一个估计值，使“事情发生的可能性”最大，也就是使 $p(\mathcal{D}|\theta)$ 最大。一般来说，我们认为多次取样得到的是独立同分布的（iid），这样

$p(\mathcal{D}|\theta)=\prod_{\substack{i=1}}^{N}{p(x_i|\theta)}$

由于 p(x_i) 一般都比较小，且N一般都比较大，因此连乘容易造成浮点运算下溢，所以通常我们都去最大化对应的对数形式

$\theta_{ML}^{*}=argmax_{\theta}\{\Sigma_{i=1}^{N}{log{p(x_i|\theta)}}\}$

具体求解释时，可对右式对 $\theta$ 求导数，然后令为0，求出 $\theta$ 值即为 $\theta_{ML}^{*}$ 。

最大似然估计属于点估计，只能得到待估计参数的一个值。(1) 但是在有的时候我们不仅仅希望知道 $\theta_{ML}^{*}$ ，我们还希望知道 $\theta$ 取其它值得概率，即我们希望知道整个 $\theta$ 在获得观察数据 $\mathcal{D}$ 后的分布情况 $p(\theta|\mathcal{D})$ . (2) 最大似然估计仅仅根据（有限的）观察数据对总体分布进行估计，在数据量不大的情况下，可能不准确。例如我们要估计人的平均体重，但是抽样的人都是小孩，这样我们得到的平均体重就不能反映总体的分布，而我们应该把“小孩之占总人口20%”的先验考虑进去。这时我们可以用贝叶斯方法。

贝叶斯估计 Bayes

使用Bayes公式，我们可以把我们关于 $\theta$ 的先验知识以及在观察数据结合起来，用以确定 $\theta$ 的后验概率 $p(\theta|\mathcal{D})$ ：

$p(\theta|\mathcal{D})=\frac{1}{Z_D}p(\mathcal{D}|\theta)p(\theta)$

其中 $Z_D=\int_{\theta} {p(\mathcal{D}|\theta)p(\theta)}\,\mathrm{d}\theta$ 是累积因子，以保证 $p(\theta|\mathcal{D})$ 和为1。要使用Bayes方法，我们需有关于 $\theta$ 的先验知识，即不同取值的概率 $p(\theta)$ 。比如 $\theta=1$ 表示下雨， $\theta=0$ 表示不下雨，根据以往的经验我们大体上有 $P(\theta=1)=0.01$ 、 $P(\theta=0)=0.99$ ，在这种知识不足的时候，可以假设 $\theta$ 是均匀分布的，即取各值的概率相等。

在某个确定的 $\theta$ 取值下，事件x的概率就是 $p(x|\theta)$ ，这是关于 $\theta$ 的函数，比如一元正态分布

。与上一节中的一样，我们认为各次取样是独立的， $p(\mathcal{D}|\theta)$ 可以分开来写，这样我们就可以得到 $p(\theta|\mathcal{D})$ 的一个表达式，不同的 $\theta$ 对应不同的值。

根据获得的 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，我们边可以取使其最大化的那个 $\theta$ 取值，记为 $\theta_{B}^{*}$ 。可能有人已经看出问题来了：我们做了很多额外功，为了求得一个 $\theta_{B}^{*}$ ，我们把 $\theta$ 取其它值的情况也考虑了。当然在有的时候 $p(\theta|\mathcal{D})$ 分布是有用的，但是有的时候我们取并不需要知道 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，我们只要那个 $\theta_{B}^{*}$ 。最大后验估计这个时候就上场了。

最大后验估计 MAP

最大后验估计运用了贝叶斯估计的思想，但是它并不去求解 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，而是直接获得 $\theta_{B}^{*}$ 。从贝叶斯估计的公式可以看出， Z_D 是与 $\theta$ 无关的，要求得使 $p(\theta|\mathcal{D})$ 最的的 $\theta$ ，等价于求解下面的式子：

$\theta_{MAP}^{*}={argmax}_{\theta}\{ p(\theta|x)\}=argmax_{\theta}\{p(x|\theta)p(\theta)\}$

与最大似然估计中一样，我们通常最大化对应的对数形式：

$\theta_{MAP}^{*}=argmax_{\theta}\{\log{p(x|\theta)}+\log{p(\theta)}\}$

这样，我们便无需去计算，也不需要求得具体的 $p(\theta|\mathcal{D})$ 部分，便可以得到想要的 $\theta_{MAP}^{*}$ 。

总结一下：三种方法各有千秋，使用于不同的场合。当对先验概率 $p(\theta)$ 的估计没有信心，可以使用最大似然估计（当然也可以使用其它两种）。贝叶斯估计得到了后验概率的分布，最大似然估计适用于只需要知道使后验概率最大的那个 $\theta$ 。

另外一方面，我们可以感觉到，最大似然估计和Bayes/MAP有很大的不同，原因在于后两种估计方法利用了先验知识 $p(\theta)$ ，如果利用恰当，可以得到更好的结果。其实这也是两大派别（Frequentists and Bayesians)的一个区别。

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