上篇中主要介绍了我们对欧几里得的了解——或许只是在“不了解”也是一种了解的悖论意味上，以及《几何原本》的流传及版本沿革。接下来，让我们对《几何原本》本身略作介绍。
作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作，《几何原本》在开篇第1卷就展开公理体系，不带一个字的多余铺垫，直接列出了23个定义、5条公设和5条公理。这是迥异于柏拉图和亚里士多德，乃至迥异于一切哲学著作的风格。
《几何原本》的23个定义
不过，风格虽异，《几何原本》对公理和公设的区分跟亚里士多德的著作是明显相似的，即公设是指单一学科——对《几何原本》所列的公设而言是几何——独有的“真理”，公理则是适用于所有科学的“真理”。不仅如此，《几何原本》中的某些定义和公理本身在亚里士多德著作中也能找到相同或相似的。比如关于点、线、面的定义（定义1、2、5）亚里士多德也曾给出过，“等量减等量仍是等量”这一公理（公理3）亦是如此。并且亚里士多德明确指出，并非所有真命题皆可被证明，必须将某些明显为真却无法证明的命题作为推理的起点。这是公理和公设的起源，也是其之所以必要的根本原因。一般认为，亚里士多德的这些观点对欧几里得是有一定影响的。不过，亚里士多德虽对公理和公设作出过区分，却不曾对具体的—即几何领域的—公设做过论述，《几何原本》所列的公设也因此被某些研究者，比如前文提到过的希腊数学史专家希斯，视为是欧几里得的原创。
在《几何原本》所列的公设中，包含了像“所有直角彼此相等”（公设4）那样普通人根本不会想到要列出的命题，这种极易被默认的命题乃是严密推理的大敌，将之识别出来则不仅别具只眼，而且是构建公理体系的必需。当然，具体到这个特定命题，它是否有必要提升为公设是可以商榷且没有唯一答案的，但不视之为想当然本身就已非常了得。至于大名鼎鼎的“第五公设”（公设5）则自然更为了得，足可写出整本书的故事来，就不在这里赘述了——不久之后会有单独介绍。
欧几里得《几何原本》中的5条公设：①在任意两点之间可作一直线；②线段（有限直线）可任意延长；③以任意中心及任意距离（为半径）可作一圆；④所有直角彼此相等；⑤若一条直线与两条直线相交，且同侧的内角之和小于两直角，则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交。
除公理和公设外，定义也是《几何原本》所构建的公理体系的组成部分。不过，《几何原本》所列的定义用现代公理体系的要求来衡量，只是一种形象化的努力，提供的是直观理解，作为教学说明不无价值，细究起来却往往会陷入逻辑困境。之所以如此，其实跟并非所有真命题皆可被证明相类似，因为对一个概念的定义势必会用到其他概念，就像对一个命题的证明势必会用到其他命题一样。原因既然类似，解决方法其实也就呼之欲出了，那就是必须引进一些不加定义的概念，就像必须引进不加证明的公理和公设一样，这也正是现代公理体系所走的路子。在现代公理体系中，基本概念是不加定义的，对其的全部限定来自公理体系本身（当然，现代公理体系也并不排斥定义，但那通常是针对次级概念，所起的作用则是简化叙述）。《几何原本》没有走这样的路子，有可能是欧几里得没有意识到形象化定义的缺陷，但也不排除是出于教学考虑。事实上，关于《几何原本》的一个有趣但没有答案的问题乃是：它究竟是欧几里得写给同行的学术专著，还是写给学生的授课讲义？倘是后者，则对概念作一些逻辑上虽非无懈可击，但有助于直观理解的形象化描述不失为有益的选择。
关于《几何原本》里的定义，还可补充的一点是：那些定义中的一部分在现代公理体系中虽已不再需要，本身倒也不乏亮点或有趣之处。比如直线的定义（定义4），即“直线是对其上所有的点均匀的线”，有一种用对称性定义概念的意味（作为若干种解读之一）。当然，由于“均匀”一词或其所隐含的对称性本身没有明确定义，这种定义也是经不起细究的，比如圆似乎也可套用这种“对其上所有的点均匀”的特性。这种语言层面的模糊性，或者用希斯的话说是“毫无希望的模糊性”，给后人解读这一定义造成了很大麻烦，产生了颇多争议，这种争议所体现的也正是形象化定义的缺陷。
在《几何原本》所构建的公理体系中，另一个可圈可点之处是对定义与存在性做出了区分，从而避免了将所定义的概念视为自动存在这一并非显而易见的错误。比如直线、圆、等边三角形和正方形都出现在第1卷的定义中（定义4、15、20、22），其存在性却未被视作不言而喻，而是分别由“在任意两点之间可作一直线”(公设1），“以任意中心及任意距离（为半径）可作一圆”(公设3)、“以给定线段（为边）可作一等边三角形”(命题1）和“以给定线段（为边）可作一正方形”(命题46）所给出。不过对定义与存在性的区分虽然连现代人也时常会稀里糊涂，但历史却相当悠久，可回溯到欧几里得之前，因而并非欧几里得的独创。事实上，芝诺的悖论给人的一个重大启示便是：哪怕最直观的概念，其存在性也并非不言而喻。自那以后，对定义与存在性的区分就引起了像柏拉图和亚里士多德那样的先贤的注意。比如亚里士多德在《后分析篇》中就明确表示，定义一个客体不等于宣告它的存在，后者必须予以证明或作为假设。欧几里得的命题1和命题46属于对存在性予以证明，公设1和公设3则系将存在性作为假设，都可纳入亚里士多德的阐述。
德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1899年出版《几何基础》(Grundlagen der Geometrie），开创了基于数学语言的现代公理体系。并最终形成了取代欧几里得《几何原本》公理与公设的5组公理，被称为希尔伯特公理。
说到对定义与存在性的区分，还有一点值得补充，那就是欧几里得对存在性的很多证明是所谓的“构造性证明”，也就是通过直接给出构造方法来证明存在性。在数学中，这是最强有力、从而也最没有争议的存在性证明。相比之下，不给出构造方法，只凭借逻辑的存在性证明在某些数学家眼里就没那么可靠，甚至会遭到一本正经的排斥。
《几何原本》是一部大书，总计有13卷。其中被读得最多也谈论得最多的第1卷是纯几何的，全书所用的公理和公设皆罗列于此（定义则不仅第1卷有，第2～7卷和第10～11卷也有）。不过纵览全书而论，《几何原本》其实并非只是一部几何著作—起码以现代对数学分支的分类观之并非如此。事实上，《几何原本》中的“几何”一词有可能是后人添加的—比如1570年出版的第一部英文版名为《The Elements of Geometry》（可译为《几何原理》或《几何基础》），1607年出版的前6卷的中文版名为《几何原本》。但该书的希腊文书名其实只对应于“Elements”，其含义据普罗克洛斯所言，乃是证明之起点，其他定理赖以成立之基础，类似于字母在语言中的作用。从这一含义来讲，《几何原本》的希腊文书名只对应于“原理”或“基础”，起码在字面上不带“几何”一词。
另一方面，虽然《几何原本》并非只是一部几何著作，书名中的“几何”一词也有可能系后人添加，不过这种添加倒也不能算误读。因为《几何原本》的题材虽不限于几何，阐述体系却是几何化的。这体现在两个方面：其一，《几何原本》中的所有公设都是几何公设。依照亚里士多德的界定，公设是属于特定学科的，因此所有公设都是几何公设意味着《几何原本》针对的“特定学科”乃是几何。其二，《几何原本》虽涉及许多不属于几何的领域，对那些领域的描述却是用了几何语言。比如“数”是用线段长度表示的，代数问题亦是由几何方式表述并求解的。从某种意义上讲，《几何原本》是数学上一个重要思路—数学几何化—的开端，“几何”一词在书名中的出现，则在一定程度上体现了对这一思路的理解或强调。此外，《几何原本》的希腊文书名虽只对应于“原理”或“基础”，这“原理”或“基础”却是特指几何领域的，比如亚里士多德在《形而上学》一书中，就界定“Elements”为几何中其他命题所共同依赖的命题。考虑到亚里士多德是一位很可能对欧几里得有过重大影响的先贤，他对“Elements”一词的界定很可能意味着书名从一开始就隐含了“几何”之意。而后人将“几何”一词显明化，则有可能只是在“Elements”一词的本身含义扩张之后对原始含义的回溯。
本文发表于《科学世界》2018年第2期
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