142857探秘

这是词条上的释义，142857的迷人性质中，有四个比较典型：

①累加轮转

142857自我累加

等式右边均为142857数字的轮转。

②再加翻车

③拆和翻车

把上边6个数分别拆解求和

得数是一排9

④平方拆和

换一种方式，先平方，再拆解求和

平方拆分后再加起来，又回到了142857的倍数。

为保证探究的条理性，先介绍 QCT 表示系统 。

Topic 为探究中心

Question 指引探究方向

Conclusion 和Conjecture 为探究产物

QTC与思维导图结合，可以充分利用思维发散

下边正文开始

▪ 探究主题

▪ 初始问题

▪ 初始导图

▪ 命题猜想

将上边四个性质分别命名为“轮转原理”，“翻车原理”，“分合原理”，“平方和原理”，下边开始命题猜想。

不难发现 =0.142857...，142857正好是 的循环节。

考虑 =0.0909...，但09显然不行。注意到 的循环节长为7-1。

尝试20以内数： 的循环节长为16， 的循环节长为18，均满足条件，检验 ：

的循环节很大，计算巧合的概率不高，换言之，C2猜对的可能性很高。 同时也说明这些性质并非142857特有。

▪ 当前进展

下边进入正题，以142857为例讨论原理本质。

一、轮转原理

把 逐次乘10，则小数点逐次右移：

两边取小于1的部分，得：

由于循环节长为6，所以 中间6个数互不相等，且小数前6位由142857轮转得到。 与右边算式的小数前6位比较：左边代表轮转数，右边代表累加数，于是得到轮转原理。（右边算式中，省略部分乘 r _i 不会进1。）

二、翻车原理:

记a=142857，由于循环节长为6，

正好把循环节移到整数部分，即

左右乘7，便得

一般的， 的循环节长为m-1，循环节乘m便得到

（一排999...）

三、分合原理:142+857=999

这里用初等数论定理：

记 , 循环节长为m-1，当且仅当m是素数，且

由定理知 ，

即

为整数， k为循环节长的一半。

142857中， 的循环节前3位为857，正好是 循环节的后3位（循环节刚好平移了一半长度）。由初等数论定理知， + 为整数，即其小数和为0.999...，取小数前三位和，即有142+857=999。

四、平方和原理

142857²=20408 122449

记s=20408，t=124499，a=142857

继续分析（玩弄）142857，启发思路。

如果把142857除以7：

142857÷7=20408.142857......

整数部分正好为s，小数部分表明142857模7余1，即：

利用性质二：

得

即a=142857=s+t

所以142857平方拆和还是142857

验证 的循环节，猜想C4不满足，但由形式启发得到C5。

一般性结论的证明和142857类似，将表述过程算式化，可以严格证明上边四个定理。

▪ 探究进展

Q1和Q2解决，C2,C4和C5由猜想变为相应定理。

最后，表述一般性的定理，并由此构造一些更有趣的例子。

▪ 定理表述

▪ 更有趣的例子