你相信这些数学事实么？（上）
1、三门问题（蒙提霍尔问题）
假如你正在参加一个节目。主持人给了你三扇门，其中一扇门里面是一款崭新的汽车，另外两扇门里面都是一只羊。你选择了其中一扇，然后，主持人打开你未选的另外两扇门里是羊的那一扇，然后——
主持人问你：你是否要换一扇门？还是就要你刚才选的那一扇？
你会怎么做？
你第一反应一定是就要你刚才选的那一扇。
到目前为止，一切都没有问题，对吧？
因为现在只有两扇门了，你可以推断出，有一半的机会赢得那辆车。对吗？
你错了？？
这个游戏的最佳策略就是“换门”，每次都换。
如果你每次都换，只有当你第一次选的那扇门里就是车的时候你才会输。
因为你第一次选中车的几率是1/3，而每次都换你输掉的几率也是1/3。
这就意味着，如果你每次都换的话，赢得几率就有2/3。
换门赢的几率是不换门赢的几率的两倍。
还不信吗？这么说吧，假如你选的是一号门，请看下面所有可能发生的情况：
如果你不换门，三种情况只有一种情况能赢；如果换门，就有两种情况能赢。
你还不信？
那我们换成50扇门再做一遍。你不选一号门。
我把其他是羊的48扇门都亮给你。对你的选择还那么有信心吗？别忘了：你第一次选对的机会只有1/50。道理完全是一样的。
2、0.999...=1
无限循环小数0.999...等于1。
有许多的证法都可以证明这个等式，但仍然有很多的人纠结这个概念，下面就是一个很好的正面：
x=0.999...
10x=9.999...
10x-x=9.999...-0.999...
9x=9
x=1
很多人纠结这个理念的原因，是我们人类的思维很难去理解“无限”这个概念。在某种层面上，大多数人只是想象最终总会以一个“9”结束。
数字这东西总是换种方式表达就会看起来不大一样，当然这个也不例外。
这其中的原因是和“无限”与“有限”的概念紧密关联的，光这些就够我们大伤脑筋的了。
下面是另外一种证法：
1/3=0.333...
3×1/3=3×0.333...
1=0.999...
3、偶数和自然数一样多
偶数和自然数一样多。
表示事物个数的数叫做自然数，如1,2,3,4等等。
自然数的数量是无限的。偶数的数量也是无限的。
你或许会想象自然数要比偶数多，因为自然数由奇数和偶数组成。
那你就错了。
我们可以在自然数和偶数之间建立一个一对一的对应关联式，这个关联式将告诉你，每个自然数都有一个与其对应的偶数。
我们可以这样想：每个自然数都有一个等于它两倍的偶数，而每个偶数也都有一个等于它一半的自然数：
12
24
36
48
510
612
714
816
这是什么意思呢？
就是说，每一个自然数，都有一个与之对应的偶数。
这就是说，这两个无限集的大小是相等的，我们称之为“可数无限集”
这就将其与“不可数无限集”如“实数集”或“复数集
”区分开了。
例如，我们不能再自然数和实数之间建立一个一对一的对应关联式。
其他的可数无限集还包括：有理数集合奇数集。
4、本福特定律
在实际的数字中，数字“1”作为首位数字出现的几率是30%.
1938年，物理学家福兰克·本福特（Frank Benford）首次在一组数字中发现，首位数字是“1”的情况总是占大多数。
其他数字出现在首位的情况则呈如下对数分布：
这是一种普遍观察到的现象。
该分布图被用于侦测数据异常，包括：
--伊朗选举欺诈
--经济数据造假
--会计账务伪造
这种现象也可以在以下集合中观察到：
--斐波那契数
--（1,1,2,3,5,8,13,21,34...）
--阶乘
--2的幂
5、生日悖论
我们假设你工作在一个23人的办公室。
那么，你办公室中两个人生日相同的几率是多少呢？（为使问题简化，我们排除2月29日）
答案是：两个人生日相同的几率是50%.
只要一个人群达到366人，那么从统计学的角度就可以确定 有两个人生日相同。因为只有365种可能的生日（排除2月29日）。
然而有趣的是，所有生日都是等概率分布的，只要一个人群有57人，那么两个人生日相同的机率就可以达到99%.
这是怎么推算出来的呢？
让我们再回到那个23人的办公室，来看一看是怎么回事。
我们要进行一下反概率运算，即计算一群人中没人生日相同的机率，来推算出我们想要的有生日相同的机率。
如果我们正面硬求解的话，要推算出办公室中两人生日相同的机率是很困难的。
而要计算出一群人中没人生日相同的机率则是非常非常容易的。
两个人生日不同的机率是这样算的：
三个人中没人生日相同的机率就是这样算的：
四个人中没人生日相同的机率是这样算的：
我们以此推算会得到什么结果呢？那就是，23个人中没人生日相同的机率是：
这时候就意味着，既然没人生日相同的机率是49.3%，那么至少有两人生日相同的机率就是50.7%.
下面就是概率（机率）曲线的样子：
6、会计/管道工问题
“上礼拜，我公寓跟冰窖似的，因为我的暖气坏了。”
“我就去找了个人，让他看一下暖气，他用了一堆备件就把它修好了。我就付了他维修费。“那这个人很可能是：会计？还是...会计及管道工？
答案是：这个人很可能是会计。
因为从场景中，这个人可能是管道工，所以你就直觉第认为他是管道工。
但是，一个人是“会计及管道工”，那他也还是会计。
参照下面的图想一想：
严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：
而他是“会计”的概率里面还包含着他只是“会计而不是管道工”的概率B.
严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：
A代表给我修暖气的那个人是“会计及管道工”的概率。
A+B的和代表给我修暖气的是“会计”的概率。
严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：
A≤A+B，从概率学的角度讲，给我修暖气的人更可能是会计。
（未完待续）
